自适应有限元方法在电磁场参数提取和复杂介质中声波传播研究中的应用

我们计划深入研究场与电路耦合的涡流问题，将该问题的数学模型应用到复杂电路的电磁参数提取中，用棱单元进行离散并推导后验误差估计，利用自适应棱单元算法和求解相应离散代数方程组的高效求解器，提高求解效率，并与国际上已有的算法进行比较。针对复杂的介质和区域中具有有限带宽源项的声波传播问题，从频域问题出发，基于完全匹配层法截断求解区域，结合自适应有限元方法提出求解问题的高效算法，以期节省高波数问题差分方法离散需要的大计算量，同时也能达到相应的能量误差的精度和色散误差的精度。

本项目研究了自适应有限元方法在电磁场参数提取中的应用和波动方程反演成像的问题。我们首先进一步完善了此前我们在参数提取方面的工作，使得我们之前的计算程序可以直接读取电路版图文件生成初始网格，分析了并行参数提取程序的并行可扩展性。我们针对涡流问题解的不唯一性，提出与此相关的一个适定的鞍点问题，并提出相应的自适应有限元算法，基于一个拟正交性证明了算法的收敛性。其次，我们提出了基于声波方程的单频逆时偏移算法。该算法不依赖于几何光学假设，对可穿透与不可穿透大散射体我们证明了成像泛函的虚部为正，从而具有更好的稳定性。将声波的逆时偏移算法推广到电磁波情形，成像泛函为Helmholtz方程格林函数与电磁场回传互相关的虚部。基于Helmholtz-Kirchhoff等式，对可穿透与不可穿透散射体我们均证明了算法的分辨率，理论分析可知成像泛函为正，从而具有更好的稳定性。最后，研究了利用电磁感应探测任意形状小体积导体夹杂的问题，我们进行了数学分析并提出了一个数值计算的框架。我们推导并证明了小的导体夹杂情形下的渐进展开公式，该公式基于磁极化张量和电导极化张量。基于该公式，我们设计了一个定位搜索算法，并讨论了探测算法的数据采集、降噪和探测概率。数值实验验证了我们的理论结果。