药物控释系统释药过程分数阶导数建模的研究

药物控释系统中释药过程的生物力学模型能够帮助深入了解药物的传输过程。符合实际情况的模型能有效地减少新药开发过程中动物实验和临床试验的次数和成本。但是，现有药物控释系统的分数阶导数模型仅局限于一维（即片型基质情况），与实际应用需求差距较大。基于此，本课题采用微观粒子随机游走和宏观连续介质唯象的建模方法，通过对有界区域内反常扩散分数阶导数模型的进一步研究，建立二维和三维基质中药物释放过程的分数阶导数方程模型。此外，借鉴整数阶模型的计算方法，并充分考虑分数阶导数的特殊性质，研究模型中分数阶可动边界问题的解析和数值计算方法，从药物释放分数、移动边界变化规律等角度分析模型，考察药物控释系统模型中描述基质材料性质和药物扩散特性的各个参数的影响。项目的研究成果将为药物基质的材料及药物选择等要素提供科学依据，对控释药物的研发具有重要意义。

药物控释系统的数学建模具有一定的理论和应用意义，而反常扩散是其中一个重要的方面。本项目围绕药物控释系统的分数阶导数建模及各种初、边值条件下分数阶微分方程的求解进行了理论研究。在项目前期研究的基础上，总结了片型基质中药物释放的各类分数阶导数模型并对各种模型的解法和模型的性质进行了分析。对于各种条件下的反常扩散现象，也进行了建模和分析，包括：建立了半平面中反常扩散的分数阶导数模型并给出了模型的解析解；建立了圆环中反常扩散的模型并给出了解析解；考虑了一类变化区域中的空间分数阶反常扩散问题并研究了其数值解。由于热传导问题和扩散问题的相似性，为了更好的研究扩散，本项目还建立了柱形物体融化的热传导问题的分数阶导数模型并给出了模型求解的近似解析和数值两种方法。对于分数阶微分方程的解法，除了上述模型涉及的解析解法之外，还研究了Fourier变换法求解一类空间分数阶Feller算子下的反常扩散方程。为解决大尺度空间分数阶算子用有限差分法离散后数据存储量大的问题，提出了一种嵌套网格方法。通过此方法可以将数据存储矩阵转化为带状稀疏矩阵。