希尔伯特变换及其截断反演的快速算法研究

The Hilbert transform and the inversion of the truncated Hilbert transform are important mathematical tools for many engineering problems. However, there is no satisfying fast algorithm for these two transforms now.The difficulty lies in how to reduce the computational complexity. In this project, we will focus on the following problems: 1.To characterize the structure of the space which is the Hilbert transform of the span space of B-splines whose coefficients satisfy some conditions. 2. To figure out some special properties of the Hilebrt transform of spline wavelets which can be used to develop fast algorithms. 3.To develop fast algorithms for computing the Hilbert transform, with the results in Problem 1 and 2, as well as to analyze the complexity and the error bound of these algorithms. 4. To develop fast algorithms for computing the inversion of the truncated Hilbert transform, and then reconstruct the single photon emission computed tomography image and the CT image by using the proposed fast algorithms. The research of this project will be benefical to the various application of the Hilbert transform and the inversion of the truncated Hilbert transform in practical problems, especially in the image reconstruction in computed tomography. Therefore, it is of practical significance and theoretical value to implement this project.

希尔伯特变换和截断希尔伯特变换的反演是解决许多工程问题的重要数学工具，但目前尚无令人满意的快速算法，其主要原因在于难以降低计算的复杂度。本项目将开展以下研究：1、通过一组基来刻画系数满足一定条件的B-样条生成空间在希尔伯特变换作用下的像空间的空间结构；2、通过对样条小波在希尔伯特变换作用下性质的研究，挖掘其能用于发展快速算法的特性；3、利用前面的研究结果发展希尔伯特变换的快速算法，给出算法的复杂度分析和误差分析；4、利用B-样条在截断希尔伯特变换作用下的特性发展截断希尔伯特变换的反演的快速算法，并将其应用于单光子发射计算机断层图像和CT 图像的重构。本项目的研究将推动希尔伯特变换和截断希尔伯特变换的反演在实际问题中的广泛应用，尤其是在计算机断层图像重构方面的应用，因此，本项目具有重要的理论价值和实际应用意义。

希尔伯特变换是解决许多数学问题和工程问题的重要工具，比如解析信号的计算，数值积分，引力波的数值解，内蕴模态函数分解算法的希尔伯特谱，以及矩阵值黎曼-希尔伯特变换问题等。截断希尔伯特变换的反演同样与工程应用具有紧密的联系，比如螺旋桨问题，拉当变换及与拉当变换密切相关的计算机断层图像重构问题等等。然而，现存的算法对希尔伯特变换及其截断反演的计算都不够理想。一是计算速度不够快，一是计算精度不够高。为了便于希尔伯特变换和截断希尔伯特变换的反演在工程中得到顺利的应用，我们借此项目研究这两种奇异积分变换的快速算法。这是本项目的背景。 本项目的主要研究内容包括样条函数空间的某子空间在希尔伯特变换作用下的空间结构问题，样条小波的希尔伯特变换的性质，希尔伯特变换的快速计算问题，截断希尔伯特变换的反演的快速计算及其应用问题。 本项目取得的重要结果包括：1. 研究了B-样条的希尔伯特变换的性质以及样条函数空间在希尔伯特变换作用下像空间的空间结构。样条函数空间有两种定义方式，一种是以B样条函数为基底生成的函数空间；一种是满足节点处一定光滑性的分片多项式空间。Curry-Schoenberg定理证明了这两种定义的等价性。由于希尔伯特变换是平方可积函数空间的酉算子，所以我们可以证明B-样条的希尔伯特变换实际上构成了样条函数空间在希尔伯特变换作用下像空间的一组Schauder基。进而，我们可以脱离希尔伯特变换的语言给出样条函数空间在希尔伯特变换作用下像空间的另一种刻画，对样条函数空间在希尔伯特变换下的像空间证明了类似于Curry-Schoenberg定理的结果；2. 研究了样条小波的希尔伯特变换的性质以及利用样条小波快速计算希尔伯特变换的算法。首先研究了具有消失矩的函数在希尔伯特变换作用下的性质，其次研究了样条小波在希尔伯特变换下是否满足与样条函数本身所具有的递推公式，并利用该公式成功的对样条小波的希尔伯特变换进行了降阶，得到了相应的快速算法以及相关的误差分析并给出了数值算例；3. 研究了希尔伯特变换在机械振动信号分析中的应用。随着希尔伯特-黄算法的发现，希尔伯特变换在信号处理中受到越来越多的关注。我们结合了经验模态分解算法，希尔伯特变换的快速计算算法以及傅里叶变换，通过对实际信号的分析得到了理想的计算结果，成功的解决了中船重工第七一〇研究所的数值仿真实验室在项目预研中碰到的一个瓶颈问题。