正交完备效应代数上的元素分解与结构分解理论

Decomposition is one of the basic mathematical ideas. The project is intended to establish a fairly systematic theory on elemental decomposition and structural decomposition in effect algebras. It is to start with the generation of basic decomposition and block decomposition in homogeneous effect algebras. In order to get similar elemental decomposition in non-homogeneous effect algebras, some new elements, whose atomic decomposition is not unique, will be added to the library of factors. In order to research the elemental decomposition in non-atomic effect algebras, some definitions, such as base, will be introduced. Base representation will act the same role in non-atomic effect algebras as atomic decomposition in atomic effect algebras. Taking effect algebra apart at torsion elements, which make no torsion elements inside the blocks, can make non-homogeneous be a union of its blocks. Hyper operators will be introduced to deal with non-lattice effect algebras. Moreover, special hyper operators, whose result is a vector, will be defined. The common feature of the elements belonging to the same block will be studied. This program can make further efforts on the application of the thought of decomposition, offer various approaches to algebras with partical operator or hyper operator, and provide a reference for the research of quantum logic.

分解是数学的基本思想之一，本课题拟在正交完备的效应代数上建立较系统的元素分解和结构分解理论。通过将原子分解式不唯一的元素加入因式库，将原子齐次效应代数中的元素分解定理推广至原子非齐次效应代数中。在非原子的效应代数中引入“基”等概念，利用“基表示”替代“原子分解式”，研究非原子效应代数上的元素分解理论。通过拆分挠元的方法，使效应代数分解所得块的内部无挠元，将齐次效应代数的块结构分解定理推广至非齐次效应代数中。在非格序的效应代数中引入“超并”等超运算符，研究含有超运算符的元素分解理论。扩充超运算符的内涵，使两个元素经过超运算符作用的结果可以是一个向量，研究含有此类超运算符的元素分解理论。研究属于同一个块结构的元素的分解式的特点，将元素分解与结构分解的研究结合起来。本研究可以深化分解思想在序代数上的应用，为含有部分运算符与超运算符的代数结构的研究提供借签，并可为量子逻辑的发展提供一定的参考。

本项目通过分解研究效应代数的结构，并将超运算引入到效应代数中，研究其超结构。其主要内容有：（1）深入研究了正交完备效应代数上的元素分解理论，在效应代数上定义了微投影，并利用微投影的性质，证明了若正交完备的效应代数的全部可精确测量元集是格序的，则该效应代数是格序的，从而解决了第12届国际模糊集理论及应用大会上提出的一个公开问题。（2）在偏序结构上引入了超并运算符与超交运算符，在效应代数中研究了这些超运算符的性质，证明了满足极大元条件的效应代数中，超并运算符和超交运算符与Riesz同余是相容的，并且其在Riesz同余下的商代数依然满足极大元条件。（3）借助效应代数上的超运算，我们交换子理论的研究范围从格序效应代数扩大到满足极大元条件的效应代数，迫使交换子提升为超交换子，得到全部超交换子中元素的集合与全部挠元集是几乎完全相同的，借助挠元的性质，我们证明了格序效应代数上的交换子都是可精确测量的，从而得到块有限的格序效应代数所含的交换子的个数是有限的，该结论回答了一个关于效应代数交换子的公开问题。. 这些研究结果进一步丰富了效应代数上的元素分解理论和结构理论。特别地，我们在超运算上的研究表明，在某些非超的代数结构中引入超运算是可行的，这一思想可为其他代数结构的研究提供借签，特别是在具有偏序结构的代数结构上。我们关于超交换子的研究还表明，适当扩大研究范围，迫使新的研究方法引入，可能会使原研究范围中的难题变得容易解决。