李代数表示及其应用

Lie algebra and its representation theory have been widely used in in many other mathematical branches and physics areas. New important results on finite dimensional non-semisimple Lie algebras and infinite dimensional Lie algebras have well developed in recent few years. The represenatation theory, inherent connection and application of those algebras have attracted extensive attention of many mathematicians and physicists. The main research topics of this project is to classify irreducible Harish-Chandra modules, constuct and characterize the weight modules and non-weight modules over various Lie algebras, including Schrodinger algebras, conformal Galilei algebras, Heisenberg algebras, Kac-Moody algebras, Virasoro related algebras, quantum Lie algebras, generalized Cartan W,S Lie algebras. And we will establish the general methods and try to use them in other mathematical branches and physics areas.

李代数及其表示被广泛应用于物理及其他数学分支。 近年来有限维非半单李代数、无限维李代数的表示理论、内在联系及其应用被大量数学家及物理学家所关注，不断涌现出新的重要成果。本课题将主要研究Schrodinger代数、conformal Galilei代数、Heisenberg代数、Kac-Moody代数、Virasoro相关代数、量子环面李代数、广义Cartan W, S型李代数等李代数的不可约Harish-Chandra模分类、权空间无限维的权模构造、非权模的构造及刻画等问题；系统总结一般方法并探索其在其他数学及物理分支上的应用。

李代数及其表示被广泛应用于物理及其他数学分支. 本课题主要研究了仿射李代数，Witt代数，Virasoro代数相关代数，广义Heisenberg代数等的表示理论。特别的，我们确定和构造了Affine 李代数A_1^{(1)}上单Whittaker模；系统构造和刻画了Virasoro代数上一类权空间维数无限的权模；通过推广Shen-Lasson构造，系统构造Witt代数W_n及W_n^+上一类权模并确定了其不可跃性和同构类；我们借助这一结果，权模与非权模的Mathieu函子及交换代数，构造和分类了Witt代数W_n上满足限制在$U(h)$上为有限生成条件的单模，这里$h$为Witt代数的Cartan子代数；我们也构造了sl_{n+1}，Schrödinger代数上一些新单模并确定了其单性. 这些研究方法具有一般性，可用于研究其他相关代数表示，也为包括一般仿射李代数上权模构造、单Whittaker模和限制单模构造与分类等问题奠定了基础.