带多重反二次奇异位势项和Sobolev临界指数的椭圆方程解的存在性及其性态的研究

The project will apply the variational methods and critical point theory, combined with nonlinear analysis techniques, to explore the existence and behavior of solutions for elliptic equations with critical Sobolev exponent and multi-singular inverse square potentials. The critical Sobolev exponent and the singularities of the potentials will bring the lack of compactness. Besides, the configurations of the singularities will affect the existence of the solutions. Base on the existing literature, this project attempts to extend existing methods and find new methods and techniques to overcome these difficulties, combining the methods such as Brezis-Nirengberg's technology, Lions' concentration- compactness principle, constraint variational methods, and the pertubation methods. We will study the existence of infinitely many solutions and existence of infinitely many sign-changing solutions of this type equations. We also investigate the existence and behavior of the solutions for a class of elliptic equations of this type under three different perturbed forms. In addition, we will discuss the concentration of solutions, and prove the existence of solutions with a one-bubbling or multi-bubbling profile. This project may enrich the results for elliptic equations with critical Sobolev exponents and multi-singular inverse square potentials, and may also promote the development of noncompact variational problems of this kind.

本项目将应用变分法和临界点理论, 结合非线性分析技巧, 探究带Sobolev临界指数和多重反二次奇异位势项的椭圆方程解的存在性及其性态. Sobolev临界指数和奇异位势会带来紧性的缺失, 多重反二次奇异位势项中的奇异点的构型及其相互作用会影响解的存在性. 基于已有文献, 本项目拟通过结合Brezis-Nirenberg技巧、Lions的集中紧性原理、约化变分法、小参数摄动法等方法, 延拓已有方法, 并尝试寻求新的方法和技巧来克服这些困难, 研究该类型方程无穷多解及其无穷多变号解的存在性问题, 同时, 研究一类带Sobolev临界指数和多重反二次奇异位势的椭圆方程在三种不同扰动形式下的解的存在性及其性态, 给出解的集中性分析, 并探讨单峰解和多峰解的存在性. 本项目可以进一步丰富带Sobolev临界指数和多重反二次奇异位势项的椭圆方程的研究成果, 也可以推动这一类非紧变分问题的进一步发展.

非线性微分方程在物理、几何、化学等学科领域中有着很强的应用背景，本项目主要是利用非线性分析的方法和技巧，探究了带Sobolev临界指数和反二次奇异位势项的椭圆方程解的存在性及其性态，对称性遭到破坏后的非线性椭圆方程的多解性问题，以及非线性分数阶发展方程在非局部条件下解的存在性问题。主要结果如下：一，对于带多重反二次奇异位势项的椭圆方程，当奇异点间的构型等条件设置较强时，可以借助标准方法得到解的存在性结论，但当条件设置较弱时，奇异点间的构型等条件要求对已有方法和技巧的使用影响较大，同时还需要克服Sobolev临界指数及其反二次位势项所带来的嵌入是非紧的问题，已有的方法不再适用，需要寻求新的方法和技巧来克服其影响，这方面的研究还在继续；二，通过发展了一个新的直接的方法，结合临界点定理和非线性分析技巧，得到了一类带有反二次位势项和Sobolev临界指数的非线性椭圆方程的正的基态解的存在性；三，在探索非线性椭圆型方程的无穷多解的存在性问题时，大多需要在对称性条件下进行研究，在对称性遭到破坏的情况下，标准方法不再适用，通过变分法和临界点理论，结合扰动方法和截断方法，得到了非对称条件下椭圆方程无穷多解的存在性结论；四，非局部的分数阶发展方程在刻画实际问题时比同样意义下的标准条件要更加实用有效，针对于此，借助于算子半群理论，不动点定理，卷积定理及其Laplace变换及其逆变换等方法，建立了带有非局部条件的分数阶发展方程解的存在性结论，丰富和发展了该方面的结果。