Swift-Hohenberg方程的斑图动力学

The Swift-Hohenberg equation was first proposed in 1977 by J.B.Swift and P.C.Hohenberg as a simple model for the Rayleigh-Bénard instability of roll waves. It was applied into the study of many systems in physics and mechanics. Its dynamical properties, including the asymptotic behavior and stability of the solutions, stationary bifurcation, dynamic bifurcation, pattern formation and pattern selection of spatial and spatio-temporal patterns, have attracted a lot of attention of Physicists. In our project, we will involve in the pattern dynamics of the Swift-Hohenberg equation, including specifically: (1)its asymptotic behavior and dynamic bifurcation; (2)existence and stability of the spatially localized radial pattern solutions; (3)stability of spatially localized periodic pattern under general nonperiodic perturbations on unbounded domain, and existence of the spatio-temporal pattern. Our analysis in dynamical properties is based on theory of infinite dimensional dynamical systems, spectral analysis, bifurcation theory, spatial dynamics, geometric singular perturbation theory and multi-scale analysis.

Swift-Hohenberg 方程是由J.B.Swift和P.C.Hohenberg在1977年提出来的描述卷波的Rayleigh-Bénard不稳定性的模型，而后被用于物理学和力学中的大量系统的研究中，它的动力学性质，包括解的渐近行为、稳定性、定态分岔、动态分岔、空间斑图与时空斑图的形成、斑图选择及斑图稳定性等是受到物理学工作者广泛关注的。该项目着重研究Swift-Hohenberg方程的斑图动力学性质，具体包括(1)解的渐近行为和动态分岔；(2)空间局部化径向斑图的存在性与稳定性；(3)无界空间区域上的空间局部化周期斑图解的稳定性与时空斑图的存在性等问题。主要运用无穷维动力系统理论、谱分析、分岔理论、空间动力学、几何奇异摄动理论和多重尺度分析等对其动力学性质进行研究。

本项目主要研究了Swift-Hohenberg方程的斑图动力学性质. 首先研究了含五次多项式和三次多项式的Swift-Hohenberg方程在一维区域(0,L)上Dirichlet边界条件下的解u(x; t) 的渐近行为, 将alpha和区间长度L作为分岔参数, 证明了在一些分岔点处由平凡解分岔出非平凡解, 并由此得到使得平凡解稳定的参数L的范围. 运用隐函数定理, 得到了平凡解在分岔点处的局部性态. 借助于中心流形分析, 得到了当分叉点相距很近时, 原方程在中心流形上的约化方程, 细致地刻画了两种不同的分岔结构, 并讨论了分岔解的稳定性. 其次考虑了一类反应扩散方程组Gierer-Meinhard模型的Turing不稳定性和Hopf分岔问题. 得到了Hopf分岔的存在性, 稳定性以及分岔的方向. 通过中心流形分析和数值模拟讨论了Hopf分岔的方向及稳定性问题, 得出了在某些参数范围下, 平衡点和从Hopf分岔点分岔出来的空间齐次周期解会因为扩散项的出现分别从稳定变为不稳定.