高性能共适应有限元方法研究

多介质流固耦合与多介质辐射流体力学等很多实际物理问题在求解过程中常常会遇到由于网格的扭曲、变形而导致精度下降、数值不稳定、甚至计算无法进行的情况。另一方面，有限元方法发明几十年了，但是关于有限元刚度矩阵谱条件数同网格几何性质（单元大小、形状和方向）之间的关系，还没有系统、完整和清晰的认识。正是这些实际应用问题和理论完善的需求共同驱动了本项目的研究。.本项目将基于我们最近发表在SINUM上的工作[12],针对间断有限元方法、谱元和p-version有限元方法、自适应网格上的有限元方法等，推导有限元刚度矩阵谱条件数同网格几何性质之间定量精细的关系，构造基于网格的预处理子或者基于谱条件数的网格优化方法来实现网格、误差与求解器之间的共适应以改善有限元整体的求解效率。本项目的研究除了将完善有限元方法在这方面的理论不足，还将对实际工程物理问题的高效求解提供指导和帮助。

本项目已按既定研究计划顺利完成。本项目主要围绕有限元方法中网格生成与优化、格式离散和方程组求解三部分之间相互适应以改善整体求解效率这一问题，深入地探讨了有限元刚度矩阵谱条件数与离散网格几何性质之间的精细关系。首先，针对二阶椭圆型问题，我们推导了自适应网格上有限元方法和有限体积方法刚度矩阵谱条件数同网格几何性质间的精细关系，这些估计相对于网格几何性质是紧致的；针对四阶板弯曲问题，我们推导了非协调Morley元离散刚度矩阵谱条件数同网格几何性质之间的精细关系；然后，我们推导了一般抛物型问题显式或者隐式全离散格式的稳定时间步长和离散矩阵谱条件数依赖于网格几何性质的精细估计；我们还推导了对流方程间断有限元离散格式稳定时间步长和网格几何性质之间的关系。这些严格推导的精细估计一方面完善了有限元方法在这方面的理论不足，另一方面，为进一步通过网格、误差与求解器之间的共适应来改善有限元整体的求解效率提供了理论指导。