几类新型目标罚函数理论与算法研究

Based on the existing theories, the project will study theories and algorithms of several new objective penalty functions for constrained optimization problems of single-objective programming, mathematical programs with complementary constraints and bilevel programming. It will (1) study theories and algorithms of obstacle objective penalty functions for single-objective programming and bilevel propramming, covering the equality, approximation exactness, algorithm and convergence; (2) study theories and algorithms of augmented Lagrangian objective penalty functions for single-objective programming and bilevel propramming, covering the equality, duality, algorithm and convergence; (3) study theories and algorithms of complementary constrained objective penalty functions for mathematical programs with complementary constraints, covering the equality, exactness, algorithms and convergence. The project's research results will have great significance in solving single-objective programming, mathematical programs with complementary constraints and bilevel programming.

本项目将针对单目标规划、互补约束规划和双层规划等约束优化问题，在已有的研究基础之上深入研究下面几类新型目标罚函数理论与算法：(1)研究单目标规划和双层规划问题的障碍目标罚函数理论与算法，包括等价性、近似精确性、算法及收敛性等，(2)研究单目标规划和双层规划的增广拉格朗日目标罚函数理论与算法：包括等价性、对偶性、算法及收敛性等，(3)研究互补约束规划和双层规划问题的互补约束目标罚函数理论与算法：包括等价性、精确性、算法及收敛性等。本项目的研究成果将对于解决单目标规划、互补约束规划和双层规划等问题具有十分重要的意义。

本项目到2016年12月为止，共完成学术论文12篇和1本专著，其中已经发表10篇（4篇SCI论文），有2篇论文仍然在投稿中。经过近4年的研究，提出了非线性规划、多目标规划、双层规划和互补约束规划的多种目标罚函数算法，通过数值计算，表明了所提出的算法能求解较少个数的无约束罚优化问题的近似最优解得到原问题的近似最优解。本研究成果丰富了罚函数理论成果，拓宽了求解复杂约束优化问题的新途径，研究表明，可能还存在更好的非线性目标罚函数值得进一步深入研究，目标罚函数将复杂约束问题转化为简单的无约束优化问题求解，便于工程师掌握和应用，可成为实际应用工程师解决实际问题的重要方法。今后可以针对各种特殊规划和大规模规划问题进一步地研究更好的非线性目标罚函数算法。本项目研究的重要结果如下：.（a）提出了线性约束优化问题的2种障碍目标罚函数算法，在凸性条件下，算法具有全局收敛性，一般情形可收敛到FJ点或KKT点。（b）提出了约束优化问题的2类增广拉格朗日目标罚函数，证明了弱对偶、强对偶定理、鞍点等价定理，证明了增广拉格朗日的精确性条件，提出了对应的算法，证明了算法收敛性。（c）提出了双层规划的2种目标罚函数算法，在一定条件下，证明了它们的双层规划目标罚函数问题转换单层目标罚函数问题的等价性，提出了相应算法和收敛性结果。（d）提出约束优化问题的2种特殊结构的目标罚函数，两种罚函数算法数值实验表明都具有非常好的收敛稳定性。（e）提出了具有约束互补数学规划的目标罚函数算法，证明了目标罚函数优化问题与原问题之间关系，证明了算法收敛性，算法可用于解双层规划。（f）提出了低次目标罚函数形式的一种具有二次光滑化的目标罚函数，证明了光滑化问题与原问题之间误差关系，和算法收敛性。（g）提出了两种低次罚函数算法，针对低次罚函数第一种是二次光滑化罚函数，另一种是指数光滑化罚函数，证明了光滑化问题与原问题之间的误差和收敛性。（h）提出了一种多目标规划的目标罚函数算法，定义一种多目标的目标罚函数形式，证明了多目标罚优化问题与原问题之间的关系，提出了逼近算法和收敛性证明。