Ericksen-Leslie液晶方程组中相关数学问题的研究

This project is to study the mathematical problems in Ericksen-Leslie liquid crystal system, which is a kind of macroscopic hydrodynamical liquid crystal model extensively used in reality. We will consider problems on the existence, uniqueness and blow up criteria under certain conditions. Explicitly, it is arranged to discuss about (1) the existence and blow up problem, such as local existence and blow up criteria, global existence with small initial data, and global existence in critical spaces; (2) the uniqueness problem, which is to study the uniqueness in some classes under proper meaning; (3) the influence of the set of initial data on the global existence or finite time blow-up. It will help us to disclose and interprete the physical characteristics of the Ericksen-Leslie system rather deeply.

本项目针对应用中最为广泛的一类宏观动力学液晶模型，即Ericksen-Leslie动力学液晶模型的相关数学问题进行研究，考察该方程组在一定条件下解的存在性、唯一性和破裂准则等。具体地，我们将研究（1）解的存在性和破裂准则，包括解的局部存在性和破裂准则，小初值整体解的存在性，或临界空间整体解的存在性等；（2）解的唯一性，在一定的集合中以及适当的意义下考察Ericksen-Leslie液晶方程组解的唯一性；（3）初值范围对解的整体存在或破裂的影响。通过对这些问题的有关研究将有助于更深刻地揭示和理解Ericksen-Leslie动力学液晶方程组所蕴含的物理特性。

本项目针对一类具有广泛应用基础的宏观动力学液晶模型--Ericksen-Leslie动力学液晶模型的相关数学问题进行了系列的研究，其中关于解的存在性、唯一性和破裂等基础问题既有明确的物理背景，又有丰富的数学内涵，具有重要的理论和实际意义。本项目分别就该方程组在小初值条件下强解的整体存在性；以及对有关方程弱解的存在性问题进行了更一般意义下的总结梳理；又对液晶中存在物的形状优化问题进行了研究，这对外区域的存在性问题有一定帮助；并在适当的临界空间对解的破裂准则进行了较为细致的讨论，得出了基于不同分量或单分量条件下的正则性准则。通过对这些问题的研究可以帮助对Ericksen-Leslie动力学液晶方程组所蕴含的物理特性进行更细致的理解和刻画。