基于满射条件的直和分解方法的三维推广及在维数研究中的应用

“The direct sum decomposition based on the surjection condition” is the theoretical tool for analyzing the dimension and basis construction of spline spaces over (2D) T-meshes with the highest smoothness order. This method is developed from the smoothing co-factor method and homological algebra.With Isogeometric analysis background, it is necessary to study spline spaces over 3D T-meshes.This application intends to research on the topics about generalizing “The direct sum decomposition based on the surjection condition” and apply it to the study of dimension of spline spaces over 3D T-meshes. Based on our previous works, the research aims in this application can be expected to be achieved and they will be the indispensable groundwork for analyzing spline spaces over 3D T-meshes.

基于满射条件的直和分解方法是在研究(二维)T网格上高光滑样条空间维数以及基函数过程中结合经典的光滑余因子方法以及同调代数发现的一种新的研究方法。随着在等几何分析的发展，对于三维T网格上的样条空间研究的必要性也逐步体现。故本项目拟推广基于满射条件的直和分解方法并应用于三维T网格上样条空间的维数研究中。相关工作已有一定的积累，有望完成研究目标。通过本项目的研究为三维T网格上的高光滑样条空间的理论研究提供必要的理论工具。

本项目在三维T网格上高光滑样条空间维数理论以及初步应用方面展开研究。理论方面，按照预定研究计划，通过推广由光滑余因子方法和同调代数结合产生的直和分解方法来寻找维数稳定的三维T网格上的高光滑样条空间。经过研究，我们发现在某类三维T网格上高光滑样条空间的研究等价于在非矩形区域T网格上高光滑样条空间的研究。在这类T网格上，直和分解方法可以进行自然的推广并且我们找到一类应用中需要的维数稳定高光滑样条空间。另外，在应用方面，借助于等几何分析框架我们对样条在求解微分方程数值解方面进行了初步的尝试。从初步结果看来，本项目的研究结果在其他基于微分方程描述的领域中应有更广泛的应用前景。这个项目支持了2名在读研究生的培养计划。主要代表作发表在Advances Computational Mathematics, Communications in Computational Physics等本专业国际主要刊物上，发表或者被接收共2篇SCI论文。