线性和非线性色散方程的动力与散射理论

This project will focus on three main subjects in mathematical physics and nonlinear dispersive equation: the dynamics of nonlinear Schrodinger equations, nonlinear long range scattering and spectral theorem. Specifically, we will study the soliton dynamics of nonlinear Schrodinger equations, which include the interaction of soliton and radiation and the interaction of soliton with potentials. The nonlinear Schrodinger equations with long range nonlinear term will also be considered. Moreover, we will introduce a abstract theorem to investigate the dispersive estimates for linear dispersive equation and apply it to spectral theorem and scattering theorem.

项目的研究内容含盖了数学物理和非线性色散偏微分方程中的三大主题： 非线性薛定谔方程的孤立子动力学、交换子方法研究带变系数非线性长程散射理论及谱理论。具体地，申请人团队将会研究非线性薛定谔方程的孤立子动力性，讨论对于孤立子与辐射能量的相互作用、孤立子与大位势的相互作用以及孤立子与两者同时相互作用的过程；研究带有长程型非线性项的非齐次薛定谔方程；建立一套抽象理论研究线性色散方程解的色散估计并将其应用到谱理论和散射理论。

本项目主要有如下三方面研究内容：非线性薛定谔方程孤立子动力学与绝热动力学；非齐次非线性方程的共振理论；抽象色散估计及其应用。通过本项目，项目团队得到如下研究成果：得到了非线性薛定谔方程孤立子与位势相互作用，以及多孤立波与时间依赖位势的相互作用下，方程解的长时间行为；在kink附近线性化后得到变系数的非线性Klein-Gordon方程，其非线性项是共振的，利用新的方法得到了变系数非线性Klein-Gordon方程的共振理论；证明了高阶带位势薛定谔方程的Kato-Jensen估计，色散估计以及Strichartz估计；到了非线性薛定谔方程组基态存在性并研究了基态的轨道稳定性；对于非线性薛定谔方程，在超临界空间中找到一类大初值，使得方程的解整体存在并散射。