高维群作用熵的研究

This project investigates entropies of high dimensional group actions, mainly about entropies of high dimensional free abelian groups acting on compact metric spaces. We investigate two kinds of entropies: one is the Friedland ’s entropy, the other is directional entropy. This project focuses on the properties of these two types entropies, including the corresponding topological entropy and measure-theoretic entropy, moreover, we are going to discuss the variational principle, respectively. Second, for several classical dynamical systems, we try to establish the formulae of Friedland's entropy or obtain the estimates of their bounds. We also discuss the continuity of directional entropy. Finally, based on the previous results, we are going to analyze the relations between the Ruelle entropy and these two types entropies. The research of this project is helpful for understanding the complexity of dynamical systems.

本项目研究高维群作用的熵，主要是高维自由交换群及半群在紧度量空间上作用的熵。这里我们着重研究两类熵：一类是Friedland熵，一类是方向熵。本项目旨在研究这两类熵的性质，包括各自范畴内的拓扑熵和测度熵，探讨相应的变分原理；其次，对于几类经典动力系统，建立Friedland 熵的具体计算公式或者给出他们界的估计；讨论方向熵关于方向的连续性；最后，在此基础上，研究群作用的 Ruelle 熵和这两类熵的内在联系。本项目的研究将有助于人们从不同角度认识动力系统的复杂程度。

本项目研究高维群作用的熵，主要是高维自由交换群及半群在紧度量空间上作用的熵。本项目对 Z_+^k-作用的 Friedland 熵和 Z^k-作用的方向熵作进一步深入研究， 研究内容主要包括：自由半群作用的 Friedland 熵的性质并对几类特殊系统给出了相应的计算公式及利用熵公式得到了一些关于群作用分类的结果； 定义了不稳定流形的关于次可加势函数的拓扑压，得到了联系拓扑压与不稳定流形上的测度熵的变分原理；另外，我们还定义了部分双曲微分同胚的关于次可加势函数的测度压得到了联系测度压与不稳定流形上的测度熵的变分原理 ， 并借助非紧集和上的部分双曲微分同胚的拓扑压得到了反向的变分原理；讨论了光滑的 Z_+^k-作用的Friedland拓扑熵的计算、Z_+^k-作用 Friedland测度熵的基本性质及熵的估计和计算； Z^k−作用的方向熵的连续性等问题，在对方向熵的连续性有了更深刻认识的基础上，进一步对高维群作用的Ruelle熵作深入而细致的研究。