二维可压缩流的数值模拟

The simulation of compressible flow in two dimension is very difficult, the problem with high density ratio and pressure ratio, Overheating effect，Carbuncles Phenomenon , Rayleigh-Taylor instability and Richtmyer-Meshkov instability is are several representatives of the rich challenging questions, a lot of domestic and international researchers have been engaged in research in this area. The project will be directed to extend the the first-order Entropy-Ultra-bee scheme of one dimension and Entropy-TVD scheme to compute the Euler equation of two dimension and generalize the the first-order Entropy-Ultra-bee scheme to high order accurate, that is, combine the Entropy-Ultra-bee scheme with today's popular ENO scheme, WENO scheme and RKDG scheme. We use the obtained schemes to compute the the five major problems above.

二维可压缩流的数值模拟十分困难，其中大密度比和大压力比问题，红宝石现象(Carbuncles Phenomenon)，过热问题， Rayleigh－Taylor 不稳定性和Richtmyer－Meshkov 不稳定性是几个有代表性的富有挑战性的问题，国内外很多计算工作者都一直在从事这方面的研究。本项目将针对一维Euler方程组的基于Godunov格式的一阶Entropy-Ultra-bee格式和Entropy-TVD格式推广到二维Euler方程组，并将一维针对Euler方程组的基于Godunov格式的一阶Entropy-Ultra-bee格式推广到高阶，也就是和当今流行的ENO格式、WENO格式以及RKDG方法结合，并推广到二维。得到的格式用于数值模拟上述五大问题。

进一步完善了Entropy-Ultra-bee格式。Euler方程组有三个特征场，其第一和第三场是非线性的而第二场是线性的，我们只希望将Entropy-Ultra-bee格式用于第二场，希望第一场和第三场按标准的Godunov格式那样计算。然而一个困难是方程组是非线性的，三个特征场之间相互影响，且熵函数和三个场都有关。因此在推广中一个需要解决的困难是如何将Entropy-Ultra-bee格技巧只用到第二场，将其对第一和第三场的影响减至最小。为了达到这一目的，我们构造了一个精巧的密度重构，得到了一套满足熵条件的格式，使得网格数增加接触间断处的过渡点不增加。我们对经典的Sod问题，Lax问题，Blast Wave问题进行了数值试验，得到了分辨率较高的计算结果。..将标量方程所发展的Entropy-Ultra-bee格式和Entropy-TVD格式应用到Euler方程组中去。由于Euler方程组的第一和第三特征场是非线性的，将Entropy-TVD格式推广上去。由于Euler方程组的第二场是线性退化的，将所发展的Entropy-Ultra-bee格式推广上去。数值实验表明所建立的格式是十分有效的，克服了切向间断的磨损，改善了数值解在第二场上的精度，部分地改善了其在第一场和第三场上的精度。我们用该格式对大密度和比大压力比问题、过热 (Overheating effect) 问题以及真空问题进行了数值模拟。..将Entropy格式和二阶、三阶结合起来，得到的格式计算了一维线性传输方程。计算结果表明该格式适合长时间计算。.针对二维线性传输方程的Entropy-Ultra-bee格式。采用交替方向法建立了针对二维线性传输方程的格式，使得每一个方向上和一维的Entropy-Ultra-bee格式一样。我们对针对二维线性传输方程的Entropy-Ultra-bee格式进行了误差分析，更精巧的设计了数值通量，使得整个数值算法比较简单。对几个经典数值算例进行了数值试验，数值试验表明，无论是精度还是分辨率都令人满意的。..将针对一维线性场的Entropy-Ultra-bee格式和针对非线性场的Entropy-TVD格式推广到二维Euler方程组，完成了交替方向的二维Godunov格式的算法设计和程序编制。