定向量子代数和量子不变量的相关研究

定向量子代数是L. Kauffman和D.E.Radford在研究定向1-1缠绕不变量时引入的，拟三角Hopf代数是其主要的例子来源。定向量子代数可以确定1-1缠绕不变量。扭曲定向量子代数可以确定定向纽结和链环不变量，ribbon Hopf代数是其特例。本项目首先利用N. Andruskiewitsch和H.-J. Schneider的提升(lifting)理论对具有投射的拟三角Hopf代数进行分类； 其次，利用扭曲和对偶思想从两个定向量子代数出发构造新的定向量子代数结构，从而诱导出纽结与3维流形上的量子不变量，如：Reshetikhin-Turaev 不变量、Hennings-Kauffman-Radford 不变量和Lyubashenko 不变量等等；最后，研究弱Hopf代数和乘子Hopf代数下的广义定向量子代数结构，并且进一步探索在此两种情况下如何建立相应的量子不变量。

本项目主要以各种交叉积为载体，以著名的Radford双积为中心对定向量子代数及其相关结构进行了以下方面的研究: 给出了带有Hopf模结构的双代数的分解形式，其包含了通过在有限维有点Hopf代数分类中起着重要作用的Radford双积实现的具有投射的双代数分解定理；Majid构造的double双积(或者bosonization)覆盖了Lusztig构造的q-扭曲量子群，我们利用Brzezinski交叉积给出了Majid结构的几种推广形式，这为构造新的量子群提供了方法；给出了smash积以及Radford双积的Hom版本，进而得到了一类新的辫子张量范畴，并且还得到了几类Hom量子杨-巴克斯特方程的解；Turaev证明了Hopf群(余)代数可以构造出同伦量子场论中的交叉群范畴，我们得到了Radford双积Hopf群(余)代数的几种相关结构，并且刻画了一些群交叉积的(余)表示范畴；通过找到两个定向量子代数的相容关系，给出了两个定向量子代数张量积上的新的定向量子代数结构，其不同于Radford的结论。