稳定流、曲率流与球面定理

We mainly study the nonexistence of stable currents in Riemannian manifolds and submanifolds under curvature pinching conditions; investigate the existence of solution for long time and the convergence of the Ricci flow under integral curvature pinching condition; study the convergence of the mean curvature flow of higher codimension under new curvature pinching contitions. Based above, we use the modern methods in global Riemannian geometry and geometric analysis to study the topological and differential sphere theorems of Riemannian manifolds and submanifolds under new curvature pinching conditions. This research has important academic and applied values.

着重研究曲率拼挤条件下黎曼流形与黎曼子流形中稳定流的不存在性问题；研究积分曲率拼挤条件下Ricci流的长时间解的存在性与收敛性问题；研究高余维平均曲率流在新的曲率拼挤条件下的收敛性问题。结合上述研究内容，运用整体黎曼几何与几何分析的现代方法研究黎曼流形与黎曼子流形在新的曲率拼挤条件下的拓扑球面定理与微分球面定理。本课题具有重要的理论意义和应用价值。

本项目紧跟当今微分几何的前沿与热点，主要运用稳定流的不存在性与曲率流的收敛性研究新的曲率拼挤条件下黎曼流形与黎曼子流形的几何、拓扑和微分刚性问题。证明了Ricci曲率拼挤条件下非负常曲率空间形式中奇数维子流形的拓扑球面定理；获得了Ricci曲率拼挤条件下球面中奇数维平行平均曲率子流形的几何刚性定理。获得了截面曲率拼挤条件下黎曼子流形的微分球面定理；证明了截面曲率拼挤条件下常曲率空间形式中紧致子流形的微分刚性定理。证明了规范化数量曲率与截面曲率拼挤条件下黎曼流形的拓扑球面定理与微分球面定理。 获得了截面曲率拼挤条件下常曲率空间形式中4维紧致Einstein子流形的最佳刚性定理； 证明了正数量曲率紧致Einstein流形的刚性定理。将广义Ejiri刚性定理推广到局部对称空间中平行平均曲率子流形的情形，证明了Ricci曲率拼挤条件下正pinched黎曼流形中平行平均曲率子流形的分类定理。本课题具有重要的理论意义和应用价值。