密码布尔函数若干前沿问题研究

Boolean functions have many important applications in cryptography. In this project, we will study the following problems on Boolean functions: 1) constructions of Boolean functions and vectorial Boolean functions based on the hwbf; 2) constructions of Boolean functions with a large number of variables; 3) using new methods to study the algebraic immunity and higher order nonlinearities; 4）Boolean functions in MACs and Boolean functions in the Grain family of ciphers. This project opens two new research fields: one is on the design and analysis of Boolean functions with large input size, and the other is on the design and analysis of Boolean functions in MACs. Accomplishment of this project will give a theory on the design and analysis of Boolean functions with large input size, and give a fundamental theory on Boolean functions in MACs. Schur polynomials and an inverse theorem for the Gowers norms over finite fields will be introduced to the field of Boolean functions. Moreover, we will propose new versions of the Grain family of ciphers and design some secure stream ciphers.

布尔函数在密码学中有非常重要的应用。本项目拟对密码布尔函数若干前沿问题进行研究，具体包括：1）基于hwbf的布尔函数及向量布尔函数构造；2）具有大变元数目的实用布尔函数设计与分析；3）代数免疫和高阶非线性度等密码指标的创新性研究；4）消息认证码与Grain系列流密码中的布尔函数研究。该项目开创了布尔函数领域两个新的研究方向，即：1）大变元数目布尔函数的设计与分析；2）消息认证码中的布尔函数设计与分析。本项目的完成，将会给出一整套大规模实用布尔函数的设计与分析理论，并初步建立起消息认证码中的布尔函数理论，成功将Schur多项式和Gowers范数逆定理等数学工具引入到布尔函数领域，推出Grain系列流密码的新版本，并设计出几个安全的流密码。

密码布尔函数在对称密码中起着至关重要的作用。本项目重点研究了布尔函数及向量布尔函数的设计与分析，引领了布尔函数的透明阶等新型密码指标的研究，取得了一系列重要的原创性结果，完成学术论文20余篇，其中有18篇已发表，并申请发明专利一项。现将结果主要概括如下：.（1）引领了抗侧信道攻击布尔函数的研究。主要包括两项工作：衡量（向量）布尔函数抵抗DPA攻击能力的透明阶研究；掩码技术里汉明权较小的相关免疫布尔函数的研究。我们首次从理论层面研究了透明阶这个密码指标，得到了其紧的上界和其它一些结果，并首次构造了两类非线性度较高和透明阶较低且变元数目任意的平衡布尔函数。在另外一项工作中，我们研究了Hadamard矩阵、d-线性无关集和具有最小汉明权的相关免疫布尔函数之间的关系，给出了构造汉明权较小的相关免疫布尔函数的快速算法，并证明了Carlet-Chen猜想与已有一百余年历史的著名的Hadamard猜想等价。.（2）提出了一种利于混合表示构造布尔函数的新方法，给出了一个三角和的精确估计，从而在其它性质保持最优的情况下，导出了迄今为止最好的非线性度下界。此外，还研究了HWBF函数的二阶非线性度以及LFSR子序列的平衡性。.（3）解决了一个已有三十余年历史的公开问题。7元布尔函数二阶非线性度的最大值是个知名公开问题，我们证明了其值为40。此外，我们还证明了7元4次布尔函数三阶非线性度的最大值为22。.（4）给出了抗DPA攻击平衡布尔函数的搜索算法，并发明了一种可构造具有优良DPA抗性的S盒的方法，利用该方法我们构造了一个S盒，其密码学性质比目前广泛使用的AES所采用的S盒更好，其有望在不久的将来代替AES的S盒而被广泛使用。.（5）构造了几类差分均匀度为4的置换，其与已知函数CCZ不等价，且具有最优代数次数和相对高的非线性度。.本项目的成果促进了密码布尔函数研究领域的发展，并可用来设计安全的序列密码和分组密码，具有极大的科学意义和应用价值。