群扩张的外作用及自同构群

It is one of the most central and difficult issues to study group extensions and their automorphism groups. Professor Yun Fan thinks that any progress in this area is notable. The applicant has published a number of important results in this aera. This project continues and deepens the applicant's work. We will study four forefront issues on group extension theory and develop the related techniques.. 1. Some necessary and sufficient conditions for an outer action to be lifted is obtained, and some applications of the group extension are given. . 2. All lifting homorphisms of the outer action(if there exist) are classified naturally, and count the number of conjugacy classes and the number of equivalent classes . . 3. Some necessary and sufficient conditions for a lifting homomorphism to be maximal is obtained.. 4. Using the new technique of matrix representation, compute the stable automorphism group of the split extension.. .

研究群扩张及其自同构群是群论中最核心而且困难的课题之一，正如樊恽教授在评审申请者博士毕业论文时所评价的：“这方面的任何进展都是值得关注的。” 申请者在这方面已经发表了若干重要的研究成果。 本项目是申请者研究工作的继续和深入，拟研究群扩张理论的四个前沿热点问题并发展其相关技术： 1.给出群扩张的外作用可提升为群作用的充要条件，并应用于研究如何将一般的非Abel群扩张转化为Abel群扩张的问题； 2.在群扩张的外作用可提升的前提下，将其所有的提升同态做自然的共轭分类和等价分类，从而计算出共轭类和等价类的个数； 3.当群扩张的外作用可提升时，给出一个提升同态为极大提升同态的充要条件； 4.与群扩张理论相联系地计算可裂群扩张的稳定自同构群，并进一步得到其自同构群的结构，使用和发展最新流行的自同构矩阵表示等技术，在精确计算和描述群的自同构群方面得到更好的结果。

本项目研究了群扩张理论的四个前沿热点问题并发展其相关技术，在这方面发表了若干重要的研究成果：..1. 给出群扩张的外作用可提升为群作用的充要条件，并应用于研究如何将一般的非Abel群扩张转化为Abel群扩张的问题； ..2. 在群扩张的外作用可提升的前提下，将其所有的提升同态做自然的共轭分类和等价分类，从而计算出共轭类和等价类的个数； ..3. 当群扩张的外作用可提升时，给出一个提升同态为极大提升同态的充要条件；..4. 与群扩张理论相联系地计算可裂群扩张的稳定自同构群，并进一步得到其自同构群的结构，使用和发展最新流行的自同构矩阵表示等技术，精确计算和描述了几类群的自同构群。