太赫兹时域光谱图像矢量场的几何代数分析

太赫兹(THz)科学技术是当前国际科技界公认的一个非常重要的交叉前沿领域，THz时域光谱(THz-TDS)成像技术可作为一种特殊的"探针"，对物质内部进行深入研究，提供关于物质的化学及生物成分、波谱特性、太赫兹标记、量子互作用过程等重要信息。THz-TDS图像的每个像素点可以表达为时域或谱域上的一个高维矢量，即THz-TDS图像在数学上可构建为一种二维平面上的矢量场。目前国内外缺乏对THz-TDS图像进行分析的完善理论。本项目主要研究THz-TDS图像矢量场的几何代数分析理论，包括：在几何代数模型下THz-TDS图像矢量场的两种代数结构模型，几何代数结构下THz-TDS图像矢量场信号的分解及变换，THz-TDS图像矢量场的低维子空间投影等。本项目的研究成果对THz-TDS图像处理和分析具有重要的理论意义和应用价值，对多光谱图像处理与分析、乃至彩色图像处理与分析理论的发展也具有重要的意义。

本项目针对太赫兹时域光谱（THz-TDS）信号和图像的特点，以几何代数和子空间模式识别理论为基础，对THz-TDS图像矢量场分析方法进行了系统深入的研究，取得了一系列的研究成果。基于THz-TDS 透射系统的物理机理，构建了THz-TDS 信号图像矢量场的的几何代数框架，提出了 THz-TDS 信号的几何代数分析方法；研究了THz-TDS信号矢量分布的几何分布特性及代数关系，揭示了物质的光学常数和THz-TDS信号矢量间存在着的对应关系；定义了THz-TDS信号的外积相似性函数和欧氏距离，研究了THz-TDS信号及其梯度特征矢量的联合熵和互信息相似性度量，提出基于距离(外积相似性函数)的分类方法来实现信号分类；对信号的共形分解变换进行了研究，给出了THz-TDS信号的共形分解方法，构建了特征子空间的辨识准则，提出了基于共形分解的THz-TDS信号物质辨识方法；将信号稀疏表示理论和THz-TDS信号几何代数分析的研究结果相结合，对THz-TDS信号矢量进行基于冗余字典的稀疏表示，提出了基于稀疏表示的THz-TDS信号分类方法；针对小样本问题，解释并证明了总体散布矩阵，类间散布矩阵和类内散布矩阵的零空间的物理意义，给出了它们的直观几何解释，提出了一种新的线性判别子空间分析方法—有效判别零空间分析(VDNS)；研究了值域空间的性质，构造了各个类的特征空间的投影矩阵，提出了一种基于值域空间中类零子空间分析(CNSA)的模式判别方法，该方法不但能够对属于已知模式的样本作分类判决，还能发现新模式类；讨论了方差小的分量在模式分类中的作用，揭示了方差小的分量含有丰富的判别信息，提出了特征空间中弱分量的概念，建立了模式判别弱分量空间，提出了THz-TDS信号分类判别的判别弱分量分析方法 (DWCA)；通过引入核函数，将超球面判别分析拓展到非线性子空间分析，并提出了THz-TDS信号分析的值域空间超球面核判别分析方法。本项目的研究表明，几何代数分析方法在THz-TDS信号的分析和处理研究中具有极大的潜力，将有助于基于THz-TDS信号的物质识别技术的发展和应用。本项目的研究成果对THz-TDS图像处理和分析具有重要的理论意义和应用价值，对多光谱图像处理与分析、乃至彩色图像处理与分析理论的发展也具有重要的意义。