椭圆动机基本群及闭链代数

Motive theory is a hot topic in algberaic geometry. The aim of this project is to study the motivic elliptic fundamental group via the apporach of cycle algebras over a fixed elliptic curve. Besides studying the explicit structure of motivic fundamental group for a given punctured elliptic curve, we want to find some special algebraic cycles on the ellitpic curve or its self-products. Finally we want to construct the realization map from the motivic fundamental group to other type fundamental groups.

动机理论是代数几何中的热门课题。本项目计划通过闭链代数去研究椭圆动机基本群。除了给出固定椭圆曲线去掉一个点的动机基本群的精细结构之外，我们希望通过在研究的过程中找到更多椭圆曲线及其自乘上面的特殊闭链。最后我们希望构造出从动机基本群到其它基本群之间的实现映射。

本项目主要研究椭圆曲线的动机基本群的结构。在射影直线去掉三个点的经典情形中，对于其动机基本群的定义，首先需要借助于由代数闭链所构成的微分分次代数；然而在寻找胞腔模消解的过程中，会自然出现Bloch-Totaro闭链，这类闭链的周期与多重对数有着密切的联系。我们尝试将这些结果推广至椭圆曲线情形。借助于微分分次复形，与其上同伦性质，我们可以找到一些代数闭链作为Bloch-Totaro闭链的类比。此外，我们也在本项目中研究了椭圆模曲线，以及亏格为2的曲线的周期与模形式的联系。