多相物质体系的计算建模算法设计与数值分析

Multiphasic materials are ubiquitous in nature, industrial processes, and our daily life. Development of mathematical models to accurately describe the property and dynamics of the material systems together with the computer simulation tools are important for one to understand the material systems and how to use them for our needs. In this project, we assemble a team of applied highly qualified applied mathematicians with extensive experience in interdisciplinary research involving development of phase field models, numerical algorithms and numerical analysis of phase field models for multiphasic material systems, to systematically develop a new research paradigm, combining modeling, numerical algorithm development and analysis, as well as high performance numerical implementation, to tackle challenging mathematical problems arising from modeling and simulation of multiphasic materials of the current interest. For thin film crystal growth, especially, for novel materials like graphene and silicon, etc., we intend to develop a set of phase field models based on the generalized Onsager principle that possess the total energy dissipation property and account for the important interfacial physics. More importantly, the mathematical structures in these models allow us to develop accurate, stable, and efficient numerical algorithms to simulate the crystal growth processes. We extend our multiphasic complex fluids models for vesicles, live cells, flows in porous media, drops of viscoelastic fluids including liquid crystal polymers to include more realistic constitutive relations following the generalized Onsager principle. We will study the mathematical properties of the models, develop general purpose, energy-stable, structure and property preserving, and highly efficient numerical schemes and conduct numerical analysis of error estimates. We hope our effort will make a significant contribution to the overall goal of the grand challenge project in computational mathematics.

多相物质体系在自然界、工业加工过程和我们的生活中随处可见。系统地发展精准的数学模型和与之相应的、可靠的计算机模拟工具对研究和发展多相物质体系至关重要。在此，我们组建一个由北京计算科学研究中心、中国科技大学、山东大学的资深的研究人员为主体的团队，对一系列当前科学与工程研究热点问题中的多相物质体系，利用相场理论进行建模、分析、算法设计、和高性能计算。我们将以非平衡理论中的广义Onsager原理为基础，在当前热点应用的驱动下，推广和开发具有特定的非平衡态数学结构的多相物质体系模型，包括非局部的多相物质模型。这些模型可分别用来描述多相复杂流体、石墨烯和硅的结晶、囊的流体动力学、细胞的运动、和多孔介质的渗流等。针对这些模型，我们将致力于研究其数学性质，设计有共性、稳定、保结构、保性质、和高效的数值方法，以及分析算法的误差。 通过开发新的多相物质模型和算法，为重大研究计划的圆满完成锦上添花.

我们集北京计算科学研究中心、中国科技大学、山东大学在多相物质体系建模、数值算法设计与分析、高性能计算与应用方面的专长，针对一系列多相物质体系，系统地开发了精准的数学模型和与之相应的、可靠的、高阶的、保结构的数值算法与计算机模拟工具。利用这些工具我们进一步系统地研究了一系列多项物质体系的动力学和材料的物理性质，其中包括多相复杂流体热力学 和流体力学、金属在基底上的动力学和稳态等。主要的计算建模工具是以非平衡热力学理论中的广义Onsager原理为基础。利用这一原理，我们针对一系列多相问题分别采用了相场和尖锐界面的描述方式，推导出一系列具有一般性的热力学一致的数学模型，在建模方面填补了这一领域的空白，同时推广了现有的、狭义的理论模型。这些模型对研究当前的热点问题，包括非局部的多相物质模型，石墨烯结晶、囊的流体动力学、细胞运动、和多孔介质的渗流等具有重要的应用价值。针对这些热力学一致模型，我们提出了一个具有普适性的能量二次化的方法。利用这一方法，人们可以灵活地设计各种保能量耗散性质与结构的高阶、高效的数值方法。 这一算法设计理念/范式现已被计算数学领域认可和使用。利用模型的数学结构，设计保结构、保性质（如保正性等）的算法同时还需要结合稳定、有效的空间离散格式。为此， 我们团队也开发了一系列的基于间断有限元、有限体积、有限元、谱方法等一系列高效、稳定的计算方法。在非局部问题的建模和计算方面，我们主要集中研究了分数阶偏微分方程在描述异常扩散过程中的正确表述、其数学结构与性质、快速算法、以及与物理现象之间的相容性与描述的合理性。分数阶方程的研究工作集中于方程解的数学性质（正则性、存在唯一等），算法的稳定、快速、和高效性，以及算法的误差和数值解的收敛性。 通过开发新的多相物质模型和高效算法与计算软件，我们的团队为重大研究计划的圆满完成做出了应有的贡献。