带漂移向量场的平方和型退化椭圆偏微分方程的正则性

Regularity of degenerate elliptic equations is the central and key point in the theory of partial differential equations. The aim of the project is to study the higher integrability and Morrey regularity for partial differential equations of square sum type contructed on H?rmander's vector fields including drift. .Concretely, we will establish the reverse H?lder inequality on nonhomogeneous spaces and the Poincaré-Sobolev inequality with drift for obtaining higher integrability of nonlinear square sum type equations and Morrey estimates of singular integrals on nonhomogeneous spaces for prividing Morrey regularity of divergence square sum type equations with small BMO coefficients..It is worth noting that the presence of drift results in nonhomogeneous spaces related to quasidistance induced by vector fields. The new idea in the project is the establishment of analysis properties on nonhomogeneous spaces for regularity of square sum type equations..Equations in the project come from several variables complex geometry, sub-Riemann geometry and financial mathematics, etc.. Our research will promote a great advance of regularity of degenerate elliptic partial differential equations, harmonic analysis on nonhomogeneous spaces and geometry related to quasidistances.

退化椭圆方程的正则性研究是偏微分方程理论的核心和热点论题。本项目将研究由H?rmander向量场（带漂移向量场）构成的平方和型偏微分方程的高阶可积性和Morrey正则性。具体地说，本项目将建立非齐型空间上的反向H?lder不等式和带漂移向量场的Poincaré-Sobolev不等式以研究非线性平方和型方程的高阶可积性；建立非齐型空间上奇异积分的Morrey估计，用于研究具小BMO系数的平方和型方程的Morrey正则性。.本项目的创新之处在于以非齐型空间为框架，建立非齐型空间上与拟距离相关的分析性质，以研究平方和型算子的正则性。.本项目研究的方程来自多复几何，次Rienmann几何，金融数学等多个学科领域。本项目的研究将促进退化椭圆偏微分方程的正则性理论，非齐型空间上的调和分析和由拟距离导致的几何学的发展。

不带漂移向量场的平方和型退化椭圆偏微分方程已被大量研究，但由于带漂移向量场的平方和型退化椭圆偏微分方程包括了有重要几何背景的Ornstein-Uhlenbeck方程，有重要粒子物理背景的Kolmogorov-Fokker-Planck方程，也包括了齐次群上由基向量场构成的退化椭圆方程，因此对此类方程研究其正则性就受到了广泛的关注。. 本项目的研究属于偏微分方程理论. 主要内容是针对带漂移向量场的平方和型退化椭圆偏微分方程，通过研究由向量场导致的非齐型空间上的奇异积分性质和退化椭圆方程解的Poincaré-Sobolev不等式等，建立了高阶可积性和Morrey正则性等。. 在本项目实施中获得的研究成果包括齐次群上带漂移项的退化椭圆方程的内部L^{p}估计； Kolmogorov-Fokker-Planck型超抛物算子的整体弱Morrey估计；具漂移项亚椭圆算子的带权Sobolev–Morrey估计；非对角拟线性退化椭圆方程组弱解的高阶可积性和Hölder正则性。. 本项目的研究揭示了向量场型退化椭圆方程的内在性质，丰富了偏微分方程正则性理论，促进了偏微分方程与几何，物理，群上调和分析之间的联系。