几类结构矩阵特征值问题的扰动理论及其应用

The eigenvalue computation of structured matrices plays an important role in scientific and engineering computation and data analysis. The aim of this project is to study the perturbation theory of the eigenvalue problem of several structured matrices arising from practical problems. The details are as follows: (1)We choose the appropriate matrix decomposition, define the appropriate function and use the properties of the function to further study the perturbation theory of eigenvalues, eigenvectors and singular values, singular vectors for the 2*2 block structure matrices, block tridiagonal matrices and diagnonalizable matrices. (2)We study the perturbation theory of singular value problems, eigenvalue problems of the above three kinds of structured matrices by using matrix eigenvalue separation and the idea of the combined perturbation theory. Among them, we focus on studing the combination of eigenvalues and eigenvector perturbation bounds of symmetric matrices under random perturbation.(3)By introducing the new matrix norm and the new definition of the backward error, we explore the backward error analysis of the eigenvalues for the structured matrices, especially the backward error analysis of Laplacian matrix eigenvalue problem and linear response eigenvalue problem. The research results will further promote the development of the computation for structured matrix eigenvalue problems and spectral clustering methods in data analysis, and provide stability analysis for the corresponding algorithms.

结构矩阵特征值的计算在科学与工程计算、数据分析等领域具有重要的意义。本项目拟研究几类来源于实际问题的结构矩阵特征值问题的扰动理论。具体包括：(1)选择合适的结构矩阵分解，定义新的函数，进一步研究2*2块矩阵、块三对角矩阵、可对角化矩阵特征值、特征向量和奇异值、奇异向量的扰动；(2)利用矩阵特征值分离度及组合扰动思想，给出上述三类结构矩阵特征值和奇异值问题的扰动分析。其中，给出对称矩阵在随机扰动下特征值和特征向量的组合扰动界是研究重点。(3)引入新的矩阵范数及向后误差分析定义，深入研究结构矩阵特征值问题的向后误差分析，特别是拉普拉斯矩阵特征值问题和线性响应特征值问题的向后误差分析。研究结果将进一步促进结构矩阵特征值问题的计算和数据分析中谱聚类方法的发展，并为相应的算法提供稳定性分析。

本项目着眼于研究源于各类实际问题（鞍点问题、线性响应特征值问题、数据分析等）的结构矩阵特征值问题的扰动理论及其应用，所获得的研究结果包含三方面内容：(1)构造了函数网络（RBF）,给出了一种基于径向基函数的“分而合作机器学习模型（DCML）,结合矩阵计算的知识，并给出了相应的理论分析:(2)研究了任意矩阵的秩1扰动下的奇异值扰动分析；(3)研究了非奇异线性系统的新的分裂迭代算法和预处理算法并给出了相应的理论分析。. 在第一方面，给出了基于 RBF 的分而合作机器学习模型 (DCML), 我们提供了一种新的基于折衷策算法的策略来实现分而合作的思想。这种妥协算法最大限度地减少了 DCML模型中必须在学习过程中调整的参数数量。因此学习速度是最优的。. 在第二方面，我们首先定义了一个新的投影，基于奇异值与特征值之间的关系，利用了奇异值分解和前人的一些结论，讨论了任意矩阵在秩1扰动下的奇异值变化，给出了更优的奇异值的两个扰动上下界。. 在第三方面，着眼于新的思路设计了一种松弛方法，这种新方法能同时用于求解系数矩阵为H+矩阵和正定矩阵的情形,并为求解大型稀疏含绝对值的线性系统提供了一般的框架：通过参数的不同选取，新方法能退化到已存在的一些方法；将松弛策略引入到与线性互补问题等价的广义隐式定点迭代方程，建立了求解线性互补问题的广义松驰两步模基矩阵分裂迭代法，将巳有的松弛两步模基矩阵分裂迭代法扩展到了更一般的情形。