振荡微分方程的高效算法研究

本项目主要内容包括振荡微分方程数值解的高效算法研究及其应用研究两个方面。算法方面的研究主要考虑根据振荡微分方程精确解本身的特殊振荡特征来构造适应于这一特征的数值方法并作出相应的稳定性分析以及数值试验。对于振荡问题，相位差和耗散的高精度逼近是个关键，为了解决这个问题，我们将采用三角拟合（复指数拟合）技术、相延迟极小化技术并考虑数值方法的辛性以及根数理论等，使得所构造的新的数值方法能够非常好的模拟精确解的振荡特性，从而具有很高的精度。应用研究方面则考虑将这些新方法运用于天体力学中的数值计算（N-体问题、卫星轨道问题的计算等）、偏微分方程半离散化后得到的常微分方程组以及高振荡的哈密尔顿系统的数值计算。对于含多个频率的振荡微分方程的计算，我们考虑新的三角拟合技术以克服"刚性周期性"的困难。

本项目主要研究振荡微分方程数值解法的理论和算法。主要的研究成果如下：(1)发展了求解多频振荡问题的多维扩展的ERKN方法的特殊的扩展的Nystrom根树理论，该理论克服了H.L.Yang 等的ERKN方法的双色根树理论的缺点，后者需要对数值解和精确解分别构造两个分枝集。获得了求解高维振荡问题的ERKN方法的代数阶条件；给出了这类方法的系数选择的简化假设并构造了非常实用的二级三阶和三级四阶方法，数值结果表明所构造的数值方法在求解有偏微分方程半离散化后得到的常微分方程组以及多维的哈密尔顿系统中具有很高的计算效率。(2) 研究了求解振荡问题的三角拟合两导数Runge-Kutta方法，给出了三角拟合条件、代数阶条件以及一些有用的结论，构造了三角拟合的两级四阶、三级五阶的两导数Runge-Kutta方法，方法节点的选取利用相延迟阶最高技术得到了更加优化的两导数Runge-Kutta方法，数值结果证明了方法的有效性。(3) 给出了求解薛定谔方程的优化的修正的Runge-Kutta-Nystrom方法并给出了误差分析，误差分析表明所构造的四级五阶方法和相同级数和阶数的RKN方法相比具有更小的渐进误差，因此随着势能的增长方法的优势就越明显，数值结果验证了误差分析的结果。(4) 研究了一种新的相拟合的求解薛定谔方程的RK嵌入方法，分析了方法的稳定型给出了相误差分析，相误差分析表明所构造的新方法具有比其他同阶的嵌入RK方法具有更小的相误差常数，数值结果验证了相误差的正确性。给出了求解两频振荡问题的优化的Numerov型方法，验证了方法的代数阶条件，分析了方法的稳定性和相性质，给出了三维的绝对稳定型区域，数值试验验证了方法的有效性。(5) 给出了求解薛定谔方程的优化的两导数RK方法和指数拟合两导数RK方法，验证了方法的代数阶条件，给出了误差分析，数值结果验证了误差分析的正确性和方法的有效性。(6) 基于经典的RK 5(4)嵌入方法，利用指数拟合技术精确积分指数函数的线性组合，给出一种新的指数拟合RK 5(4)嵌入方法，数值结果通过定步长计算Wood-Saxon势能和变步长计算Lennard-Jones势能验证了新方法的有效性。(7) 给出了求解薛定谔方程的指数拟合5（3）嵌入RKN方法，高阶方法为5阶，低阶方法为3阶，给出了误差分析，数值结果验证了误差分析的正确性。