几类李代数的结构和表示理论研究

Nowadays，the non-weight modules and the weight modules which have infinite-dimensional weight spaces become hot research topics on the representation theory of Lie algebra. This project aims to study these modules over some Lie algebras which have good mathematical and physical background. We will study the simple singular Whittaker modules over Schrödinger algebra, the non-weight modules (including Whittaker modules and singular Whittaker modules), as well as tensor product modules for Virasoro algebra and the related Lie algebras. For TKK algebra and the derivation Lie algebras of torus with 2-variables, we will study the induced modules including Whittaker modules and the Verma modules. We will also study the structures of TKK algebras including maximal subalgebras finite-dimensional subalgebras and the derivations over modules, and then to study the structure of Lie bialgebras of TKK algebras.

李代数的非权模和权空间维数无限的权模逐渐成为李代数表示理论的研究热点。本项目将在具有强数学物理背景的几类李代数上对上述模展开研究：研究Schrödinger代数的奇异Whittaker单模；研究Virasoro代数及其相关代数非权模（包括Whittaker模和奇异Whittaker模）及张量积模；研究TKK代数及双变量环面导子李代数的诱导模，包括Whittaker模和Verma模。在结构方面，我们将研究TKK代数极大子代数、有限维子代数和模上的导子，进而研究TKK代数对应的李双代数结构。

随着李理论在许多数学和物理分支中发挥越来越重要的作用，李理论得到广泛研究。具有强烈物理背景的几类李代数的权空间维数有限的权模已经有很好的研究成果，我们侧重于对张量积模、Whittaker模及酉模进行了研究。确定了Schrödinger 代数上奇异 Whittaker 单模的存在性并对正部分作用局部有限的单模进行了完全分类，同时也对单的最高权模和奇异Whittaker单模进行了刻画；确定了Schrödinger-Virasoro代数的高权模与中间序列模的张量积模的单性条件并对这类张量积单模进行了完全分类；研究了双变量环面导子李代数的泛 Whittaker 模的结构和单模的同构关系；研究了扭Heisenberg–Virasoro 代数的酉表示，分别确定了共轭线性反对合以及中间序列酉模的形式；研究了一类TKK李代数的极大子代数，并得到了它的四类极大子代数。研究了一些有限群的性质，包括拟正规性、嵌入性、超可解性、饱和形变、幂零性等性质，而且推广了一些有限群上的著名结果。