多相流界面追踪流相拓扑变化的代数拓扑分析及布尔代数算法

Interface tracking (IT) has always been a fundamental and important problem in numerically simulating multiphase flows. Despite of their enormous successes, current IT methods sometimes suffer from (a) the lack of a rigorous analytic framework and (b) spurious oscillations that result from insufficient accuracy in estimating either interface location or interface curvature.These drawbacks are particularly true in the case of topological changes, i.e. merging or separation of interfaces of the same fluid phase..Based on regular open semi-analytic sets, we have already proposed an analytic framework called MARS for the analysis of explicit IT methods in the absence of topological changes. In this proposal, we aim to (1) develop algorithms of Boolean algebra on the Yin space, a subspace of the space of regular open semi-analytic sets, (2) extend the theory of MARS to analyze topological changes via some fundamental concepts from algebraic topology, and (3) combine (1), (2), and spline functions to form a new IT method called the cubic MARS method, with anticipated convergence rates as 4 or 6, even at the presence of topological changes..The fruits of this research will not only provide insights for theoretically analyzing topological changes, but will also generate a new IT method. with unprecedented accuracy and efficiency for this particularly difficult IT problem. In addition, the algorithms of Boolean algebra will provide a novel solution to the classical computational-geometry problem of curvilinear polygon clipping in the much richer context of the Yin space. Finally, the coupling of the cubic MARS method to high-order finite volume methods will serve as a powerful tool for studying many challenging multiphase-flow problems of extreme practical significance.

界面追踪问题是多相流数值模拟最重要的子问题之一。现有的显式方法缺乏严格的理论依据,计算精度往往也不能达到实际问题的要求,这个局限性在流相有拓扑变化时显得尤为突出。针对具有任意复杂拓扑结构的流相,我们已经提出了一个基于正则半解析开集的数学模型和理论框架,称为MARS。在此基础上,本项目将(1)研发一套流相表示空间上的布尔代数算法,(2)引入若干代数拓扑手段将MARS发展成一个完备的界面追踪理论框架,提供一整套适用于拓扑变化的分析工具,(3)针对拓扑变化设计并实现一个高精度高效率的二维界面追踪新方法,并利用三次样条函数使该方法的收敛速度达到4阶及6阶。本项目不仅对显式界面追踪的研究有重要的指导意义,还将大大提高现有方法的精度和效率。另外,其布尔代数算法对计算机科学的几个领域也有很强的实用价值。在和现有的高阶有限体积方法耦合之后,本项目成果将对许多有重大意义的多相流问题提供强有力的研究工具。

界面追踪问题是多相流数值模拟最基本的子问题之一，在自由界面、流固耦合以及多物理场耦合等问题中都有重要的应用。.和现有界面追踪方法回避几何和拓扑问题截然不同的是，本项目旨在用几何和拓扑的工具解决几何和拓扑的问题，主要内容和成果有：1.提出了一个拓扑空间（殷空间）做为刻画二维连续介质几何特征和拓扑结构的数学模型，并实现了对具有任意复杂拓扑结构和几何特征的流相的理论刻画和简单高效表示。2. 为殷空间提出了一个构造性的布尔代数，并实现了具有完备性和鲁棒性的布尔算法。3.在前两项成果的框架下发展了cubic MARS方法，对界面追踪达到了时空一致四阶、六阶或八阶精度。标准数值实验显示，cubic MARS方法把传统界面追踪方法（VOF方法，Level set方法，Front tracking方法）的精度提高了多个数量级。4. 将上述界面追踪理论和算法与传统有限元方法相耦合，针对具有动边界的对流扩散方程提出了一个时空一致四阶精度的高保真算法。.本项目的科学意义有：A.基于殷空间的理论框架能用于现有显式界面追踪方法的分析，也适用于流相拓扑变化的特殊情况，对今后新方法的设计具有良好的指导价值。B.本项目发展的布尔算法是较少的同时具有完备性鲁棒性正确性的布尔算法之一，在计算机图形学和地理信息系统等其它领域也具有很好的应用前景。C. 本项目提出的cubic MARS方法大大提高了现有方法的计算精度和计算效率。在该方法的基础上，对界面曲率的估计也把现有方法的精度提高了多个数量级。这些成果在表面张力不可忽略的自由界面问题上有良好的应用前景。D.本项目的界面追踪理论和算法如果能进一步与高阶有限元或有限体积法结合，将对多相流的数值模拟带来深远的影响，在许多重大多相流问题中都将有广阔的应用前景。