Ringel-Hall 代数及量子群的 Groebner-Shirshov 基

本项目主要利用Ringel-Hall 代数方法及有限维代数的表示理论中的 Auslander- Reiten 理论来构造Dynkin 型量子群的 Groebner-Shirshov 基、量子群的可积高权表示的Groebner-Shirshov基及它们相应的线性基。目前只有 An 型量子群的 Groebner-Shirshov 基已知，而其它量子群的 Groebner-Shirshov 基还没有给出； 量子群的表示的Groebner-Shirshov 基则是完全空白。因此本项目的预期结果将填补这些个空白，并且本项目将要用的方法将让我们能够理解有限维代数的表示理论及Ringel-Hall 代数与Groebner-Shirshov 基理论之间的了联系。

本项目的主要目标是用有限维代数的表示理论中的 Auslander – Reiten 理论及 Ringel – Hall 代数方法来构造 Dynkin量子群及其可积高权表示的 Groebner – Shirshov 基。按照项目年度计划，2011年项目组已经成功构造了 E_6 型， E_7 型，D_n 型及 F_4 型量子群的极小Groebner – Shirshov 基。项目组同时发现用我们的方法可以统一讨论所有 Dynkin型量子群的极小Groebner – Shirshov 基的构造问题，并得到以下结论：Dynkin 型量子群的根向量之间的所有拟交换公式构成它的一个极小 Groebner - Shirshov 基。2012年及2013年上半年，项目组主要讨论了Dynkin型量子群的可积高权表示的极小Groebner – Shirshov 基的构造问题，并已成功构造了 A_n 型，F_4 型及 G_2 型量子群的可积高权表示的Groebner – Shirshov 基。2013年下半年把这些结果写成 3 篇论文分，已投稿。在本项目执行的3年以来，培养博士研究生1人，硕士研究生12人，其中4名硕士研究生已经毕业。