时间尺度上反应扩散神经网络系统动力学研究

时间尺度上的微分方程是一种将微分方程（连续情形）和差分方程（离散情形）有机统一在一起进行研究的数学理论和方法。通过对时间尺度上的动力学方程的研究，所得的结果比微分方程和差分方程理论更为深刻和广泛。因此，近几年来，对时间尺度上的动力学方程的研究成为许多学者关心和研究的热点问题之一，并取得了许多好的结果。反应扩散神经网络系统是由偏微分方程和泛函微分方程相结合而形成的偏泛函微分方程。许多学者对连续和离散的反应扩散神经网络系统进行研究已经取得了许多好的结果。但是，对时间尺度上的反应扩散神经网络系统动力学行为的研究结果目前还很少。所以，本项目主要对时间尺度上的带时间延迟项、脉冲项和模糊项的神经网络系统的动力学行为进行研究，譬如周期解的存在性及其稳定性、不变集的存在性及其估计、吸引子的存在性和分维数估计等，所取得的结果为人工神经网络和生物神经网络的研究和应用提供理论依据。

时间尺度上的微分方程是一种将微分方程和差分方程有机统一在一起进行研究的数学理论和方法。通过对时间尺度上的动力学方程进行研究所得的结果比微分方程和差分方程理论更为深刻和广泛。反应扩散神经网络系统是由偏微分方程和泛函微分方程相结合而形成的偏泛函微分方程。许多学者对连续和离散的反应扩散神经网络系统进行研究已经取得了许多好的结果。但是，对时间尺度上的反应扩散神经网络系统动力学行为的研究结果目前还很少。在本项目的资助下，我们主要做了三个方面的研究。首先，通过构造适当的Lyapunov泛函和不等式技巧，研究了一些反应扩散神经网络系统的不变集、吸引性、稳定性和同步性等动力学性质。其次，利用不动点理论和指标理论等泛函分析方法，对一些具有脉冲效应和延迟效应的分数阶微分系统的边值问题进行研究，获得了解或正解的存在性和多解性的充分判据。最后，利用重合度理论和不等式技巧，研究了一些生态系统的周期正解或概周期正解的存在性。