量子共振理论及其在开放量子系统中的应用

Quantum resonance is one of the important notions in mathematical physics. It aims to explain the existence and the lifetime of metastable states in quantum systems. Most of current results on quantum resonance are based on the hypothesis that the Fermi golden rule (FGR) is positive. However, the FGR vanishes in some explicit models. We will study the quantum resonance theory when the FGR vanishes. We hope to apply the theory developed here to the study of open quantum systems. In particular, we will use a variant of the Mourre theory in combination with the Feshbach projection method to investigate the dynamical properties of a class of open quantum systems without analytical conditions. Moreover, we will improve the theory developed in [5] and then apply it to the study of some open quantum systems.

量子共振是数学物理中一个重要的概念，它可以用来解释量子系统中亚稳态的存在性和存在时间。关于量子共振的数学研究主要是分析一类自伴随算子的嵌入在连续谱中的特征值的扰动问题。现有的研究结果大部分是在费米黄金定则为正的假设下进行的，然而在某些模型中，费米黄金定则等于零。本课题拟研究费米黄金定则等于零情况下的量子共振现象。同时我们希望将研究方法和技巧用来分析开放量子系统的性质。本课题考虑的另一个关键问题是结合Mourre 估计和Feshbach 映射方法对一类没有解析性质的开放量子系统展开研究。另外，我们希望借鉴和改进文献[5]提出的方法，并将其用于对某一类开放量子系统的研究。

本项目研究一个双自旋系统与周围环境耦合的开量子系统。在不同耦合系数下，我们证明了系统平衡态的concurrence数都为零。在弱耦合情况下，该结果关于系统温度一致成立，但是在强耦合情况下不是一致成立的。利用算子的扰动理论，我们计算出了系统的水平位移算子，从而得到了系统的动力学表达式。我们还研究了一类反应扩散方程系统，他们常用来描述传染病的传播。通过定义系统的基本再生数R0，我们证明了R0<1时，系统的无病平衡点是全局稳定的，疾病将走向灭绝；当R0>1时，疾病将长期存在。同时证明了系统行波解的最小波速c*。利用海地霍乱爆发时期的数据，我们数值模拟了系统的参数以及c*与某些参数成正比关系。此外我们还研究了一类具有多种传播途径的扩散SIR-B模型。因为该模型不能应用比较原理，我们构造了反应扩散方程系统的上、下解，利用Schauder不动点定理，证明了行波解的存在性，并且得到行波解的最小波速c*。借助常微分方程的李雅普诺夫函数，我们证明了存在连接该方程组的两个平衡点的行波解。