高维拟线性双曲方程的若干研究

In this project, we will consider global existence of classical solutions with small initial data and local well-posedness of low regularity solutions for some second order multidimensional quasilinear hyperbolic equations. For the first kind of problem, we will consider the 2-D systems of nonlinear wave equations with multiple propagation speeds satisfying the null conditions and 2-D nonlinear elastic wave equations satisfying the null conditions. We will study the global existence of classical solutions to the Cauchy problems and exterior problems with homogeneous Dirichlet boundary condition for this two equations with small initial data. For the second kind of problem, we will study the local well-posedness of low regularity solutions for the Cauchy problem of timelike minimal surface equation. We will explore the structures of these equations sufficiently, and combine and develop some analysis methods, such as vector fields method, weighted energy estimate and decay estimates, Strichartz estimates, Morawetz estimates and Bourgain space. We hope that these researches can get significant progresses and enrich the theory of multidimensional quasilinear hyperbolic equations.

本项目计划研究若干高维二阶拟线性双曲方程小初值经典解的整体存在性以及低正则性解的局部适定性。对于第一类问题, 我们将考察满足零条件的二维拟线性多波速波动方程组以及二维非线性弹性波方程, 研究这两个方程 Cauchy 问题以及具齐次 Dirichlet 边界条件的外区域问题小初值经典解的整体存在性。对于第二类问题, 我们将研究时向极值曲面方程 Cauchy 问题在低正则性解框架下的局部适定性。 我们将充分开发这些方程所具有的特殊结构, 结合并发展已有的分析方法, 如向量场方法、加权能量估计与衰减性估计、Strichartz 估计、Morawetz 估计以及 Bourgain 函数空间等。力争在上述几个问题的研究上取得显著进展, 从而推进、丰富和发展高维拟线性双曲方程的理论。

本项目对若干重要的拟线性双曲方程进行了研究, 得到了如下结果。 (1) 给出了三维非线性弹性波方程在零条件下小初值经典解整体存在性的一个新的证明。在初值径向对称的情形，得到了二维满足零条件的非线性弹性波方程小初值经典解的整体存在性。(2)对于一类满足零条件的三维拟线性波动方程组，得到了初值径向对称且具有低正则性时，小初值解的整体存在性。(3) 对于一维满足零条件的拟线性波动方程组，得到了小初值经典解的整体存在性。(4) 对于非线性量子场论中的 Faddeev 模型，得到了测地解的整体非线性稳定性。上述结果推进、丰富和发展了拟线性双曲方程的理论，发表在 JMPA、JFA、CVPDE、JDE 等数学杂志。