随机偏微分方程的在线辨识方法研究

The online identification of stochastic partial differential equations is to utilize the time series observation data of distributed parameter system to construct the corresponding stochastic partial differential equation that govern the system, while update the established model in response to the changes of the regulations of the system. It can be considered as a kind of "inverse" research for stochastic partial differential equations. The general approach of the existing identification method is to intuitively consider the equations as NARX model (Nonlinear Auto-Regressive Network with Exogenous Inputs), and then search algorithms are to specify the regression relationship of the state value of stochastic partial differential equations. However, the online identification problems could not be solved by following this technique line. Based on the numerical theory of stochastic partial differential equation, we found that stochastic partial differential equations could be rationally transferred into partially linear models which could be conveniently specified by using kernel learning method. Therefore, this project proposes a new approach to solve the online identification problems: in the framework of partially linear model, it is aim to obtain the statistical properties of kernel learning estimator for stochastic partial differential equations by using limit distribution theory, and based on the established confidence interval of the estimator, to propose new “information update” strategy, then develop efficient online identification method for stochastic partial differential equations.

随机偏微分方程(SPDE)的在线辨识就是利用随机分布参数系统的时间序列观测数据去重构描述这个分布参数系统的未知的SPDE，的变化对建立的模型进行实时的更新。它可以看作是一种对随机偏微分方程“反向”的研究。现有SPDE辨识方法的大体思路是将SPDE直观的转化为非线性自回归模型，然后用搜索式算法找到SPDE状态值的回归关系。在这样的一个建模思路下，SPDE在线辨识这个重要而困难的问题无法得到解决。我们以SPDE数值算法理论为基础发现：SPDE可以被自然合理的转化为方便用核学习方法回归的部分线性模型。因而，本项目提出一个新的思路来解决SPDE在线辨识问题：在部分线性模型框架下，利用极限分布理论，研究SPDE核学习状态估计量的统计学性质，并依据状态估计量的置信区间，提出新的“信息更新”策略，进而发展出高效的随机偏微分方程在线辨识方法。

随机偏微分方程的在线辨识是利用随机分布参数系统的观测数据去重构描述这个系统的未知的随机偏微分方程，并对模型进行实时地更新。它可以看作是对随机偏微分方程的“反向”的研究。现有的辨识方法是在非线性自回归模型架构下将集中参数系统中的辨识建模方法平行的推广过来，因而无法解决随机偏微分方程系统辨识研究中一些特有的问题，如在线辨识问题，“数据采样点空间分布不均匀”下的辨识问题等。我们在分析中发现：基于定性理论与数值理论，部分线性模型与随机偏微分方程有着紧密而有趣的联系，并且可以建立基于部分线性模型的核学习算法去解决这些问题。在本项目的资助下，申请人顺利完成了预定相关内容的研究，提出了一些关于随机偏微分方程辨识问题的新的和有效的方法。我们的研究成果集中在几个方面，第一，利用有限元方法建立了新的用于辨识的多维耦合部分线性状态空间模型，并证明了它和所表示随机偏微分方程之间的收敛性。第二，利用样条函数理论，提出了一个在“数据采样点空间分布不均匀” 条件下的辨识方法，弥补了在这个问题上研究的空白。第三，利用差分方法，提出了一个新的基于推广的部分线性模型的核学习在线辨识方法。与一些现有的方法相比，这个新的方法不仅能提高辨识的精度，而且能准确的估计出相应随机偏微分方程中与物理特征紧密相联系的特征参数的值，并且为进一步研究基于核学习方法的随机偏微分动力学系统的数值最优控制方法提供了算法和模型基础。这些研究成果一部分已经发表，一部分已投待发表。所有提出的新的方法都与随机偏微分方程的在线辨识问题有着直接的联系，我们都在相应的研究论文中对此都进行了阐述和讨论。