随机Maxwell问题的数值方法

The Maxwell equation is an important tool to analyze the electromagnetic wave. In order to solve the problem of disturbance in reality, we introduce the condition of stochastic coefficient, stochastic source and stochastic interface into the study of Maxwell equation. It is well known that the Maxwell equation is three-dimensional problem, how to handle the huge computational cost is the key to the research on this kind of equations. Our project will expand from the following points: 1. The stochastic interface of Helmholtz problem with PML; 2. Three-dimensional stochastic interface of Helmholtz equation;3. The stochastic interface of Maxwell equation with boundless domain. First, we apply the theorem of stochastic equation to analyze the uniqueness of positive solution of the stochastic system, and then construct the numerical format for the equation. Finally, the numerical simulation will verify the validity and feasibility of the algorithm. We are aiming to improve the accuracy of the solutions for stochastic interface problem, and promote the computational efficiency of the stochastic problem. Our project will complete the theorem of the numerical solutions for stochastic partial equation.

Maxwell方程是研究电磁波的一项重要手段，为解决产品生产设计时所面临的扰动问题，研究者将随机系数、随机源项、随机边界等条件引入Maxwell方程的研究中。由于Maxwell方程是三维问题，求解数值解的计算量问题一直是该类型方程数值解研究的难点。本项目拟从以下三个问题进行展开：1. 具有最佳匹配层的随机交界面Helmholtz问题；2. 三维随机交界面Helmholtz问题；3. 无穷区域随机交界面的Maxwell问题。首先，利用随机微分方程理论研究随机系统正解的存在唯一性；其次，构造方程数值格式，并证明数值解的存在唯一性及收敛性；最后通过数值模拟验证算法的有效性，可行性。本项目的研究能提高随机交界面问题数值解的精度，提升随机问题的计算效率，丰富随机偏微分数值解的理论研究。

Maxwell方程是研究电磁波的一项重要手段，为解决产品生产设计时所面临的扰动问题，研究者将随机系数、随机源项、随机边界等条件引入Maxwell方程的研究中。本项目的主要研究成果为：1. 针对具有最佳匹配层的随机交界面Helmholtz问题，应用形状导数、自适应有限元方法、PCD低秩逼近算法，给出随机交界面问题的解的二阶逼近公式和方差的三阶逼近公式，并给出相应的数值模拟；2. 针对三维随机交界面Helmholtz问题，应用形状导数、自适应有限元方法、PCD低秩逼近算法，给出随机交界面问题的解的二阶逼近公式和方差的三阶逼近公式；3. 针对具有抛物型方程约束的最优控制问题给出了一种有效并行分裂方法和基于半隐式有限元法的Heston模型美式期权定价的数值方法。