几类流体方程的整体适定性及其相关问题

In recent decades, the technology of Harmonic analysis is becoming one of the most important methods in PDE. Theory of function spaces, theory of operators and Littlewood-Paley theory etc., in Harmonic analysis, are more and more widely applied to PDE. Including the applications of these technologies, the analytic thinking of Harmonic analysis cannot also be ignored. Furthermore, these applications also enrich and fill the framework of Harmonic analysis. In this project, we will aim to study the global well posedness of some fluid equations by using the technology of Harmonic analysis combining with some new technologies in Fluid equations. At the beginning, we need to consider a prior estimate; blow-up criterion; commentator’s estimates etc. of the corresponding equation in some spaces infused many properties of equation.

最近几十年来，用调和分析的方法考虑方程问题，已经成为处理方程问题的主要方法之一。调和分析中的函数空间理论，算子理论， Littlewood-Paley理论等被越来越广泛地应用于方程当中。除了这些技巧性的应用之外，调和分析中的分析思维对方程所起的作用也是一个不可被忽视的方面。另一方面，调和分析方法在方程中的应用也丰富和充盈了经典调和分析的理论架构。在本项目中，我们主要拟使用调和分析的方法并结合流体方程的一些较前沿的方法来考虑几类流体方程的整体适定性问题。为了能够更好的应用调和分析的技巧，我们需要在不同的融入更多方程性质的空间上处理各类方程的先验估计，爆破准则，交换子估计等等问题。

用调和分析的方法考虑方程问题，已经成为处理方程问题的主要方法之一。调和分析中的函数空间理论，算子理论，Littlewood-Paley理论等被越来越广泛地应用于方程当中。在本项目中，我们主要使用调和分析的方法并结合流体方程的一些较前沿的方法来考虑几类流体方程的整体适定性问题。首先我们得到了临界的Burgers方程与Quasi-Geostrophic（QG）方程的整体适定性，并通过对这两类方程的研究，找到了一些处理不可压Navier-Stokes（NS）方程整体适定性的方法和线索，为处理这类方程打下了基础。此外，我们还系统地研究了几类含参变量函数空间的性质，并在相应的含参变量函数空间上考虑了NS方程的整体适定性问题。