共轭积框架下多项式矩阵理论研究及在系统设计中的应用

The concept of conjugate product for polynomial matrices is firstly proposed based on investigation on Sylvester matrix equations appearing in control systems design. The conjugate product is reduced to the ordinary product when the considered polynomial matrices are real. From the mathematical point of view, the conjugate product enriches the theory of polynomial matrices. In this project, the polynomial matrices are first investigated in the framework of conjugate product, and some results are then utilized to control systems design. The main contents in this project are as follows. (1) The polynomial vector space in the framework of conjugate product is investigated, and then the rank of polynomial matrices in the framework of conjugate product is characterized; (2) Based on obtained results on polynomial vector space, the existence of solutions to polynomial matrix equations are investigated in the framework of conjugate product, and general expressions of the solutions are established; descriptor linear systems are investigated based on reduced version of the obtained results; (3) Rational fractional matrices in the framework of conjugate product are firstly constructed, and then some canonical forms of rational fractional matrices are provided; In addition, some results on rational fractional matrices are also applied to analysis and design of linear systems with complex coefficient matrices; (4) Jordan canonical forms under consimilarity and coninvariant subspace are investigated by using the proposed conjugate product of polynomial matrices as tools.. The project is a novel theoretic topic initiated from the investigation on control systems design. The results obtained in this project may provide new directions for control systems design.

申请者在研究系统设计中出现的Sylvester方程时提出了多项式矩阵的共轭积的概念。当多项式矩阵为实时，共轭积就退化为正常的乘积。对共轭积的研究可能会为控制系统的设计提供更好的工具。从数学的角度看，共轭积丰富了多项式矩阵理论。本项目拟在共轭积框架下对多项式矩阵进行研究，并将部分结果用于控制系统设计，主要内容包括：（1）研究共轭积框架下的多项式向量空间，多项式矩阵的秩；（2）以多项式向量空间的结果为基础，研究共轭积框架下的多项式矩阵方程解的存在性，建立通解的表达式；通过简化这些结果并将其用于广义线性系统的设计；（3）构造共轭积框架下的有理分式矩阵，并考虑有理分式矩阵的标准型和互质分解；将获得的结果用于复系数系统分析和设计；（4）以共轭积为工具研究合相似变换下的Jordan标准型及合不变空间。.此项目属于由控制系统的研究带来的新的理论课题，其成果可能会给控制系统设计提供新的研究思路。

在控制系统的分析与设计中，多项式与多项式矩阵起着重要的作用。一方面，它可以用于描述系统并直接在多项式矩阵框架下进行控制律设计。另外，它可以作为底层研究工具对控制系统分析与设计中出现的一些矩阵方程建立统一的求解框架。在前期研究中，我们对复多项式矩阵提出了共轭积的概念。在该项目中，我们在共轭积框架下研究复多项式矩阵，并给出了其在反线性系统中的应用。取得的主要研究成果包括以下几个方面。.1..共轭积框架下多项式矩阵的实表示.在共轭积框架下提出了多项式矩阵的实表示。该实表示能维持共轭积框架下多项式矩阵的乘法运算。在此基础上我们定义了共轭积框架下多项式矩阵的行列式，并给出了相应的性质。另外，我们还对四元数多项式提出了j-共轭积的概念，并以其为工具建立了四元数矩阵合相似的新判据。.2..共轭积框架下的有理分式.根据以下步骤给出了共轭积框架下有理分式的构造。(1) 采用多项式对的方式定义其相等的规则；(2) 以相等的规则对多项式对进行分类；(3) 将等价类记为分式的形式。在所提出的有理分式的框架下定理其加法和乘法运算。.3..共轭积框架下多项式的互质性及最大公因子提取.对多项式在共轭积框架下的左互质性和右互质性给出了基于矩阵行列的判据。该结果与多项式在普通意义下的互质性判据平行。根据一组多项式矩阵的系数构成的矩阵，建立了一种提取多项式最大公因式的矩阵分解方法。.4..反线性系统分析与设计.研究了确定性反线性系统和随机反线性系统。对离散反线性系统的能控制建立矩阵秩判据；对其稳定性建立基于anti-Lyapunov矩阵方程的判据。对连续按反线性系统提出了anti-指数函数的概念，并基于它建立了状态相响应公式。对随机Markov跳跃系统根据耦合anti-Lyapunov矩阵方程建立了其随机稳定的条件。.5..矩阵方程的迭代算法.对几类相关的耦合Lyapunov矩阵方程提出了新型的迭代算法。这些算法的一个共同特点是充分利用最近更新信息。另外，通过改变引入的调节参数可以改善算法的收敛律。对于一些特殊情形，我们建立最优调节参数的显式表达式。..基于所得到的研究结果，在Springer出版社出版专著一部；发表11篇SCI检索论文，其中2篇发表在控制领域顶级刊物IEEE自动控制汇刊上；发表5篇EI检索会议论文。另外，作为合作者获得国家自然科学二等奖一项，黑龙江省自然科学一等奖一项。