非凸集值优化理论及其相关问题研究

Nonconvex set-valued optimization is the major research content of this project. It mainly deals with the following four aspects of nonconvex set-valued optimization problems: (1) Based upon the construction of nonlinear scalarization functions, the optimality conditions and dual theory for set-valued optimization problems will be established by using the theorems of nonconvex seperation; (2) The characterizations of approximate solutions for set-valued optimization will be proposed by utilizing Ekeland's variational principle and nonlinear scalariztion functions; (3) For the set-valued optimization problems in sense of set relations, it discusses the characteristic of nonlinear scalariztion functions, optimality conditions and duality theorems; (4) Under the different sense of proper efficiency for set-valued vector equilibrium problems, this project will investigate the existence of solutions, higher-order optimality conditions, topology properties and dual theory . According to the above four aspects, this project can deepen and enrich the theory and applications of set-valued optimization problems.

本项目围绕非凸集值优化问题展开研究，涉及固定序和变动序结构下集值优化和向量均衡问题的非线性标量化、解的最优性条件和拓扑性质以及对偶理论等。主要研究内容包括：（1）构造集值映射的非线性标量函数，以非凸性分离定理为基础，建立集值优化问题解的最优性条件和对偶理论；（2）利用Ekeland变分原理并结合集值映射的非线性标量函数研究集值优化问题的近似解；（3）从非线性标量化、最优性条件及其对偶理论等方面研究集标准意义下的集值优化问题；（4）讨论不同真有效解意义下集值向量均衡问题解的存在性、高阶最优性条件、拓扑性质和对偶理论等问题。 本项目依此4方面内容为基础，深化和丰富集值优化理论及应用的发展。

非凸集值优化问题是集值优化领域研究的热点问题之一，本项目对非凸集值优化及其相关问题展开了研究，并在以下四个方面取得了一定的研究成果：一是研究了几类非凸集值映射的性质. 利用非线性标量函数刻画了拟凸和弧连通拟凸集值映射. 给出了一类集值映射形式下赋范线性空间为内积空间的等价刻画条件; 二是在向量优化和集优化两种标准下研究了集值优化问题的最优性条件. 利用集值映射的Contingent型导数，得到了集值优化问题弱有效意义下关于最优解和近似解的在集分离形式下的最优性刻画，以及Kuhn-Tucker型最优性条件. 借助集值映射的Radial型导数建立了集值优化问题在向量标准和集标准两种序关系下的（高阶）最优性条件. 给出了集值优化问题真有效解的导数型和非导数型最优性条件. 三是研究了几类非凸集值优化问题的对偶模型并得到了相应的对偶定理. 在一些条件下，建立了原约束集值优化的Mond-Weir型和Wolfe型对偶问题，利用分析的方法，得到了弱有效意义下的弱对偶定理、强对偶定理和逆对偶定理，这些对偶定理揭示了原问题和对偶问题之间存在着明确的对偶关系. 利用Lagrange对偶和Mond-Weir对偶原理，得到了集值优化问题关于严有效解和超有效解的强对偶定理， 该结果具体描述为：原集值优化问题的（严）超有效解，在一定条件下是对偶问题的（严）超有效解，并且原问题和对偶问题的目标函数值相等; 四是向量优化问题和向量变分不等式解的关系研究.推广了几类广义凸映射，在较弱的条件下研究了其相应的性质，并获到了（弱）有效意义下向量优化问题和向量变分不等式解的等价关系. 利用KKM定理建立了变分不等式解的存在性定理. 在真有效意义下，证明了集值向量变分不等式和集值优化问题解的等价性.. 本项的预期研究目标基本完成，所得研究结果丰富和深化了集值优化理论及其应用的研究内容.