四元数分析中椭球体波函数相关问题的研究

The proposed project is based on the classical spheroidal wave function in one complex variable. In this research, we aim to investigate the relevant new subjects in quaternionic analysis and to explore new strategy in function theory of quaternionic variables. The commutative try of complex numbers makes complex analysis is relatively easier. In quaternionic analysis there does not exist such commutative property. This shortcoming, however, makes the study in relation to the quaternionic spheroidal wave function extremely interesting. In 1964 D.Slepian proposed to study higher dimensional real-valued spheroidal wave function. In 2006, G.Water made connections between spheroidal wave function with wavelets and used the relevant results in computerized tomography, the latter being an active research topic for more than 20 years. The study gave great impetus to the development of function theory. The proposed project is to investigate spheroidal wave function in the quaternionic setting, aiming to find effective methods to compute the type of functions as well as their Eigenvalues. The project will also benefit from the study of the interplay between complex and hyper-complex analysis and in particular enriches the study of quaternionic analysis.

本项目是基于单复变中的经典椭球体波函数，研究四元数分析中相关的新问题，探索四元数和函数论中的新思路。单复变函数中乘法可交换法则使得单复变分析相对比较简单，但是四元数分析中不存在乘法可交换法则，因此，四元数中的球体波函数相关问题的研究变得特别有趣。1964年，D.Slepian 提出高维实值的球体波函数的研究；2006年，G.Water 将高维实值的球体波函数与小波分析结合，应用在计算机断层摄影上近二十年来一个非常活跃的问题，对丰富函数论有着非常重要的作用。本项目将从复分析和函数论的角度探索四元数中的椭球体波函数理論，找出有效的方法去计算该函数及其特徵值。本项目将有助于分析单复变和超复变量分析之间的联系，丰富四元数傅里叶分析的研究。

本项目是基于单复变中的经典椭球体波函数(PSWFs)，研究四元数分析中相关的新问题，有助于分析单复变和超复变量分析之间的联系，丰富四元数傅里叶分析的研究。椭球体波函数(PSWFs) 估计在20多年来广泛得到国内外数学家的关注。而国内较少有学者从事该问题的专门研究，因此本课题起到促进国内该方向发展的作用。同时，已有的解析函数论估计大部分都是在单复变中。对于四元数中最具有代表性的区域，如单位球和多圆柱等区域，PSWFs有关的问题成果甚少，甚至没有。本项目将基于前期的研究基础，对单位球和多圆柱的四元数PSWFs有关的问题展开研究。因此在研究的内容上具有一定的代表性和创新性。在探索四元数傅立叶分析理论方面的研究上，我们提出的问题是在与国内外不同学科和专业的研究者在合作和讨论中所提出的。我们希望通过对新问题的探讨，充分发挥自己的专业特长，将四元数分析的工具用于解决复微分方程的问题，并且通过对课题的研究，为量子力学，系统控制, 信号和图像处理提供一定的理论基础，促进学科的交叉，进一步将基础研究推广到应用领域。对于前期单复变中解释函数和傅立叶分析的研究，我们已形成了一套自己的方法去处理问题，我们对四元数解释函数构造和傅立叶分析的方法具有一定的创新，这对本项目的研究提供了一定的技术保证。对四元数系统, 四元数讯号和图像处理的分析，我们将交叉结合复几何、解释理论结构、系统理论分析、四元数系统的状态空间和不变子空间。在研究的方法上，将学科交叉相结合，具有自己的特色。本项目的研究有助于分析单和多复变, 四元数之间的联系，为四元数解释函数理论的研究找到新的探索方向。有利于推动四元数领域中全纯映射函数理论的研究工作，同时促进学科的交叉，为讯号和图像处理的分析，系统控制提供一定的理论基础，扩大研究成果在国内外的交流。