多尺度自适应方法的研究和应用

多尺度方法是当前固体力学、材料科学、计算数学等多个研究领域的交叉前沿课题。本项目主要研究多尺度自适应方法在材料裂纹中的算法设计和数值实现。该方法的特点是：首先，利用异质多尺度方法的区域分治、质量动量能量守恒、允许不同尺度时间步长的特点，统一有效地结合h-和r-自适应方法；其次，采用基于Monge-Ampere方程的r-自适应方法，该方法可以有效处理非凸区域，并能较好地保持网格几何结构，避免以往由于网格过度变形无法计算的情况；最后，借鉴多尺度模型中的区域分割思想，对区域再次进行区域分割简化模型问题，使多尺度自适应方法在一些复杂问题的计算中发挥出灵活、高效的优势。我们将结合目前断裂力学领域所关心的裂纹传播问题和燃烧科学中所关注的火焰传播模型，深入研究多尺度自适应方法的算法设计和实现方式。

多尺度和自适应方法是当前固体力学、材料科学、计算数学等多个研究领域的交叉前沿课题。本项目实施以来，项目组成员围绕断裂力学领域所关心的裂纹传播问题和燃烧科学中所关注的火焰传播问题开展密切的合作研究，研究工作涉及计算建模、理论分析、算法实现，模拟验证等相关内容。通过分工和合作，我们解决了研究计划里多尺度建模和自适应方法在上述两个问题应用中的一些重要问题，同时也探索了在研究建模、理论及计算中所遇到的新问题和新困难。经过四年的努力，我们项目组取得了一定的重要研究成果，主要为：对于非固定奇性问题，我们提出了将h-自适应和r-自适应方法结合的新自适应方法，可充分抓住奇异点处的信息，提高计算精度。我们将结果拓广至二维的情况；另一方面，我们研究了基于移动边界和区域分解思想的自适应方法，在每个小区间上用自适应方法求解；宏观或者微观尺度下，经常需要保持某些重要的物理守恒性，我们提出了一种自适应的有限体积方法。不同网格间的解是基于几何守恒的插值得到的，而且对于空间再解大大降低了计算工作量；我们进一步研究发现材料的裂缝或者裂纹最终都会涉及到特征值问题。针对特征值优化问题，提出了一种贪婪算法，虽然该算法只是局部算法，无法保证求得全局最优解，但是收敛速度很快。而且给出了有限元的误差分析和自适应加密的数值算法；在分子模型和模拟中,Irving-Kirkwood体系起到了非常重要的作用。在这个体系中可以根据微粒的位置和动能来计算某些连续介质力学物理量。因此,与其他近似方法相比,Irving-Kirkwood体系更加系统,它的推导不需要特殊的分子结构。但在实际执行中 ,Irving-Kirkwood体系只包含了空间平均。为此,我们提出了时间和空间同时平均的Irving-Kirkwood体系，包含和拓广了Hardy的工作。特别是对于一般的核函数,我们得到了全新的结果；等等一系列重要研究成果。部分成果已经在国际重要刊物如The Journal of Chemical Physics，Numerische Mathematik上发表。