活性液晶聚合物流体的建模与数值分析

We systematically derive a continuum model for the active liquid crystalline polymers using general hydrodynamic theories. For the translational and rotational invariance of the free energy, we get the Ericksen stress tensor and the antisymmetric tensor. We also get the relationship between strain and stress by Onsager principle. With active stress term, our model satisfies thermodynamical theories. We also study the boundary conditions of the system. We derive a stable, decouple, high precision and faster scheme to solve the systems. Using the result of theory and simulations, we analysis the rheology and instabilities of the system, study how to driven the spontaneous flow, defects and pattern formations, and verify the efficiency of the model.

我们应用广义流体力学理论对活性液晶聚合物流体进行数学建模，应用系统自由能的平移和旋转不变性系统地推导出Ericksen应力张量和反对称张量，根据Onsager原理得到应力和应变的本构关系。加入活性应力，确保模型满足热力学原理。同时，通过研究粒子和边界相互作用的物理性质，推导出合理的边界条件。由于得到的数学模型是高度耦合、强非线性、包含高阶导数的偏微分方程组。我们采用增加中间变量来降低导数的阶数、解除方程间的耦合关系，通过引入稳定化因子和凸分裂的思想设计稳定、解耦、高精度、快速有效的数值格式对模型进行数值模拟。通过对模型进行线性稳定性分析和数值结果的全面分析，理解活性液晶系统的流变现象，相变过程，自发流动，defects和pattern等形成的原因，以及分子极性和作用力的类型对系统结果的影响等。同时验证模型的合理性。

我们应用流体力学理论对活性液晶聚合物流体进行数学建模，根据Onsager原理得到应力应变的本构关系。在应力张量中我们通过对活性分子的应力在分子中心的Taloy展开然后取局部平均的思想，引入宏观活性应力。通过采用Doi-Closer近似的方法，用二阶矩近似模型中的四阶矩得到封闭的模型。我们首先对模型进行了稳定性分析。对模型在全空间情形或周期边界情形采用平面波展开的方法，进行了稳定性分析，得到了模型参数选取的稳定性条件和活性参数的临界值。同时对1维情形下有限区域下的线性稳定性进行分析，得到了自发流产生的活性参数的临界条件。并且从数值上验证了临近值的准确性。其次，我们对模型设计了部分解耦合的辅助变量方法，把非线性方程组转化为几个线性Helmholtz方程求解。同时证明了算法的能量稳定性。利用我们设计的算法进行了大量的数值实验，分析了活性液晶系统的自发流动，缺陷的形成和发展等流变现象与活性参数的关系。