微分形式Lp空间算子范数不等式的研究

As one of the core subjects of mathematics, harmonic analysis plays an important role in the theory of Partial Differential Equations. Especially in the last ten years, the use of harmonic analysis to study a class of partial differential equations for differential forms has drawn more and more attention from mathematicians. However, the research on the corresponding operator theory is just getting started. Therefore, whether for differential forms or for the development of PDEs, it is from the perspective of harmonic analysis to establish the operator theory for differential forms of great significance. The project mainly aims to the following problems: 1. Discuss the feasibility that some classical operators in the field of harmonic analysis are extended to the differential forms and the boundedness of these operators in Lp spaces for differential forms; 2. Computer or at least obtain good estimates for the p-norms of the homotopy operator, Green’s operator, the potential operator and Beurling-Ahlfors operator by the dyadic Haar shift operators, Bellman function techniques, two-weight norm inequalities and establish sharp type norm inequalities; 3. Combine nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations, to further study the properties of solutions to the A-harmonic equation for differential forms. These results will provide a theoretical basis for studying the regularity and integrability of weak solutions to A-harmonic equations and improving the operator theory of differential forms.

作为数学的核心学科之一，调和分析对偏微分方程理论的应用尤为突出。特别是最近十几年，利用调和分析的方法来研究一类用微分形式表示的偏微分方程正逐渐受到关注。然而，对其相应的算子理论的研究才刚刚开始。因此，从调和分析的角度建立微分形式的算子理论无论是对微分形式还是对偏微分方程的发展都具有重要的意义。本项目主要致力于研究：1. 探讨将调和分析中一些经典算子推广到微分形式的可行性及在微分形式Lp空间的有界性；2. 利用二进Haar移位算子，Bellman函数技术和双权范数不等式，计算或估计同伦算子、Green算子、位势算子和Beurling-Ahlfors算子等的Lp-范数，建立更严格的范数不等式；3. 结合退化椭圆方程的非线性位势理论，明确微分形式A-调和方程弱解的性质，为进一步研究微分形式A-调和方程弱解的正则性和可积性及完善微分形式算子理论提供理论基础。

近年来，微分形式Lp理论在拟正则映射和偏微分方程等许多领域得到了应用。与此同时，对微分形式算子理论的研究以及对微分形式几何空间的刻画正逐步展开。本项目针对Green算子与同伦算子的复合算子以及Beurling-Ahlfors算子在关于微分形式的加权Lp空间以及Sobolev空间的范数进行了研究。对于复合算子，以往所得到的加权范数不等式仅对A-调和方程的解成立，而我们所建立的局部及全局范数估计则适用于Lp空间中的任意微分形式。我们首先证明了关于复合算子的加权局部Lp范数不等式，然后利用Whitney覆盖，将这一不等式发展到了全局，证明了复合算子在加权Lp（n< p<∞）空间的有界性。 进而得到了复合算子在加权(1,p)-Sobolev空间上的一个嵌入不等式。然后我们又针对一个特殊的Young函数类，建立了复合算子在关于微分形式Orlicz-Sobolev空间上的一个嵌入不等式。对于Beurling-Ahlfors算子，我们研究了在一类更一般的测度空间上将算子作用于非齐次A-调和方程的解的加权范数比较不等式，进而对Beurling-Ahlfors算子得到了一个局部加权的Orlicz范数不等式，并将这个局部不等式推广到了Lφ-平均域上。这些结果丰富了微分形式算子理论，为进一步研究A-调和方程弱解的正则性和可积性提供了理论基础。