椭圆与抛物型偏微分方程的正则性理论研究

Regularity theory plays an important role in the study of elliptic and parabolic equations.The study on regularity theory is a priority and hotspot issue in PDEs.Classical regularity estimates for elliptic and parabolic equations consist of Schauder estimates, L^p estimates, De Giorgi-Nash estimates, Krylov-Safanov estimates, and so on. Weighted L^p estimates and regularity estimates in weighted Orlicz spaces are new regularity estimates.The project mainly study weighted L^p estimates,regularity estimates in weighted Orlicz spaces and H?lder estimates for Calderón-Zygmund singular integral operator and various kinds of second-order linear and quasilinear,higher-order linear elliptic and parabolic equations on the basis of the National Science Foundation for Young Scientists of China, and the previous works and our existing research results.The project applicant has accumulated much work in the proposed subject and obtained some good research results. The project is both a continuation of the preparatory work,and an even further and deeper research.

正则性理论在研究椭圆和抛物型偏微分方程中起着重要作用,长期以来也都是研究的重点和热点。经典的椭圆与抛物型问题的正则性理论研究主要包括: Schauder估计、L^p估计、De Giorgi-Nash 估计、Krylov-Safanov估计等。加权L^p估计与加权Orlicz空间中的正则性估计是全新的正则性理论。本项目在青年科学基金项目的工作基础上并结合前人以及我们已有的研究成果，我们将继续对Calderón-Zygmund奇异积分算子和各类二阶线性与拟线性、高阶线性椭圆与抛物型方程的加权L^p估计、加权Orlicz空间中的正则性估计以及Hölder估计等进行进一步的探讨。本项目申请人已在拟研究的课题上有较多的工作积累，并取得了一些很好的研究成果。本项目既是前期工作的延续，也是更进一步和更深层次的研究。

在偏微分方程中，正则性理论的研究长期以来都是研究的重点和热点。偏微分方程正则性理论对于研究大多数不可求解的偏微分方程具有重要意义，人们可以通过对偏微分方程的正则性理论的研究来解释和预测一些物理现象或认识物质运动的本质。经典的正则性理论研究主要包括:L^p估计、Schauder 估计、De Giorgi-Nash、Krylov-Safanov估计等。本项目结合前人以及我们已有的研究成果的基础上，我们研究了Calderón-Zygmund奇异积分算子和各类二阶线性与拟线性椭圆与抛物型方程的加权L^p估计、加权Orlicz空间中的正则性估计以及Hölder估计等。由于一些问题的复杂性与归一化的失效，所以问题的研究具有一定的难度。