基于MPI的谱元法并行计算及其在电磁散射问题中的应用

This project will develope a reliable, high-precision parallel spectral element method based on MPI for electromagnetic scattering problems. Firstly, consider the two uniform and inhomogeneous media electromagnetic scattering problems, use the boundary integral method to deal with the Sommerfeld radiation condition, solve the problem by spectral element method by the problem with singularity integral boundary conditions bounded region, and investigate the existence and uniqueness of solutions; Construct a high-precision integration scheme by spectral element method for the singular integration; furthermore，propose a high-precision spectral element method for the electromagnetic wave scattering problems in high wave numbers. Secondly, we propose a new type of parallel spectral element algorithms for large-scale electromagnetic scattering problems. Large scale problem can be divided into a number of small-scale subproblems and we can simulate subproblems at the same time on different processors respectively. We intends to focus on resolving the calculation data commulations between the processors. By the study of this topics, we strive to provide an effective theory and numerical solution method in practical scientific computing applications.

本项目针对电磁散射问题，发展一种可靠的、高精度的谱元并行计算方法。首先, 考虑两层均匀介质和非均匀介质电磁波散射问题，利用边界积分方法处理索末菲辐射条件，将问题转换为带奇性积分边界条件的有界区域问题，再结合谱元法对问题进行求解，同时研究解的存在唯一性；对奇性积分，研究如何利用谱元法构造出高精度的积分格式；在上述研究的基础下，进一步研究如何建立中高波数电磁波散射问题的高精度谱元解法。 其次, 我们针对大尺度的电磁散射问题，提出新型的谱元并行算法，把大规模问题分成多个小规模问题分别在不同的处理器上同时进行数值模拟，拟重点解决计算过程中分块区域间数据的交换问题。 通过上述课题的研究，力争为实际科学计算中相关问题的解决提供行之有效的理论参考及数值求解方法。

本项目针对偏微分方程发展一种可靠的、高精度的谱元并行计算方法，特别是四阶微分方程的直接求解设计了高效的算法，并且应用到了相场模拟。偏微分方程可以描述很多物理的特性，而相场模型是一个具有广泛应用背景的研究课题，比如气泡上升、液晶融化等。首先，我们主要采用区域分解方法，在每一个单元上构造满足Dirichlet边界条件的基函数，相邻单元上构造帽子函数，把二阶导数和四阶导数的微分方程采用多项式全离散，时间方向采用二阶差分离散，得到一个稳定的线性系统，用数据库进行求解。对于全离散格式，我们证明了解的稳定性和关于空间的误差收敛阶。不管是空间还是时间离散，误差都达到了最优的收敛阶数。对于相场模型，由于相场的厚度取得很细时，时间步长需要取得特别小，所以我们在格式中增加了稳定项来加大时间步长。同时对于新的格式，理论证明了其误差关于时间离散达到二阶精度，关于空间离散多项式阶数达到指数阶精度，并且理论验证能量衰减的性质，这一性质也是原本物理问题必需满足的性质。其次，针对大规模的问题，我们提出了新型的谱元并行算法，把大规模问题分成多个小规模的问题，分别在不同的处理器上同时进行数值模拟，主要重点解决计算过程分块数据之间的交换问题。相应的研究成果发表国际在国际刊物4篇。最后，我们也把该方法应用到电磁散射问题中，尤其是解决高波数和高频情况，相比查分有限元以及间断有限元，我们的方法大大减少了自由度。通过上述课题的研究，我们为实际科学计算中相关问题的解决提供行之有效的理论参考及数值求解方法。