逆散射问题中的超分辨率

The inverse scattering problems are crucial in a broad range of applications such as radar and sonar, geophysical exploration, nondestructive testing and medical imaging. A major challenge in those problems is to obtain the so called super-resolution, i.e. the fine details far below the wavelength of the probing wave. The objective of this proposal is to establish effective mathematical models and efficient numerical methods for super-resolution in certain inverse problems. We shall study the imaging of infinite rough surfaces and closed surfaces and propose a novel method to increase the resolution by using negative-index metamaterial. The research will include the set-up of the model, theoretical analysis and numerical methods. Preliminary research indicates an infinite resolution may be obtained using the new method for infinite rough surfaces. We shall investigate this novel method further to obtain deeper results, as well as extend it to 3D and closed surfaces.

逆散射问题在雷达和声呐，地质勘探，无损检测和医学影像等领域有非常广泛的应用。这类问题的一个主要挑战是取得超分辨率，即远小于波长本身的细节 。本项目的目标是针对特定逆散射问题建立有效的数学模型和高效的数值方法以取得超分辨率。我们将研究无限和封闭曲面的成像问题并提出利用负折射率超材料提高分辨率的全新方法和模型。研究内容包括模型的建立，理论分析和数值算法。初期研究显示此方法对无限曲面有望得到无限分辨率！我们将继续研究此方法以取得更加深入的结果，包括扩展到三维空间和封闭曲线。

反散射问题在雷达和声呐，地质勘探，无损检测和医学影像等领域有非常广泛的应用 。这类问题的一个主要挑战是取得超分辨率，即远小于波长本身的细节。..初始计划研究界面的成像问题并提出利用负折射率超材料提高分辨率的方法。这包含了模型的建立，理论分析和数值算法。过程中我们考虑了周期界面的成像问题，设计了一种理论上可以无限提高分辨率的方法，即在界面上方放置一块具有负折射率的棱镜并在该棱镜的上边缘测量散射波数据。通过Transformed field expansion方法得到了重构公式。我们分析了成像分辨率和棱镜的物理参数以及放置距离的关系。特别地，在理想参数下可以获得无限分辨率。..由于包含负折射率材料的正散射问题存在理论缺陷，无法得到精确合成数据，故而上述方法的数值实验未能完成。负折射率材料是近年提出的新概念，在多种科技领域具有巨大的潜在应用价值。上述研究结果建立了一种负折射率材料棱镜增强成像分辨率的模型，并从数学上严格证明了无限分辨率的可能。..在研究波动方程特征值问题的时候，我们尝试构造一种基于特征函数的障碍物反散射问题算法。由于特征值对应于波动方程在内部区域的共振，而共振现象和超分辨率有一定联系，所以我们推测这种方法可以提高成像分辨率。最终的数值结果验证了这个推测。相关结果已于Inverse Problems发表。这可以看做研究计划的一个调整。