具有N-peakon的可积模型与带负幂流孤子方程的有限亏格解

Since the discovery of Camassa-Holm equation, because of the special properties that peakon gots, it has received considerable attention in modern Mathematics and Physics. In order to find new features of peakon, some researchers have derived lots of interesting results by applying theories associated with the cubic string problem and continued fractions of Stieltjes type to the integrable dynamic systems with N-peakon. Meanwhile, beacause of the relationship between the soliton equations with N-peakon and the negative flows of soliton hierarchies, deriving the finite genus solutions of soliton equations with negative flow by the algebro-geometric characters and asymptotic properties of the algebraic curves also provides a new approach to obtain explicit expressions of peakon. This project will mainly focus on two aspects. First, new integrable dynamic models with N-peakon are expected to be constructed. Second, more characteristics of peakon are supposed to be found with the aid of the explicit presentaions of them.

近年来随着Camassa-Holm方程的出现，由于其特有的尖孤子解(peakon)具有连续但却分段解析的性质，使得研究怎样获得具有N-peakon的新可积模型逐渐成为当今非线性科学的热点课题之一。为了进一步揭示peakon新的特性，一方面，国内外研究人员利用与立方弦问题相关的理论，以及借助于Stieltjes型连续分形，从N-peakon满足的动力系统出发构造其精确表示，并以此为基础得到了关于peakon的一些有趣的结果。另一面，由于具有N-peakon的孤子方程与孤子族负幂流的内在联系，利用代数几何知识研究带负幂流孤子方程的有限亏格解也为构造N-peakon的精确表示提供了新的方法和思想。本项目的研究重点便是围绕上述内容展开，期望在获得具有N-peakon的新可积模型的同时，能借助于N-peakon的精确表示，进一步揭示peakon的新特征。

近年来，作为非线性科学的重要分支，孤立子与可积系统的研究在数学以及物理领域取得很多引人瞩目的成果。具有孤立子解的非线性偏微分方程，即孤子方程，作为描述非线性现象的有力工具被广泛应用。在诸多经典的孤子方程中，Camassa-Holm方程作为第一个既具有孤立子解，又是完全可积的，还能描述波的破碎现象的水波模型而倍受关注。CH方程所具有的特殊孤立子解被称为尖峰孤立子，简称尖孤子。尖孤子的出现不仅为偏微分方程研究领域提出了很多新的问题，而且其自身也具有很多优美的性质，并与许多经典的数学理论紧密相关。尖孤子是近年来在孤子方程解的研究方面最重要的发现之一，与传统光滑孤立子解的研究相比，对尖孤子的研究方兴未艾，具有尖孤子的可积模型十分有限，其很多不为人知的性质也有待探索。因此，寻找新的具有尖孤子的可积模型，并对其相关性质进行进一步的研究是一项极为重要的工作。本项目便是把握上述研究热点，主要在如下方向展开工作：一方面致力于新的具有尖孤子的可积模型的构造，并对其相关性质进行研究。另一方面，力图借助于代数几何、达布变换等方法，构造包括尖孤子方程在内的可积非线性方程解的精确表示。以期在寻找更多具有N-peakon的浅水波模型的同时，为揭示孤立子在数学与物理领域更多有意义的性质做出贡献。在构造具有尖孤子的可积动力模型及其性质的研究方面，我们由一个二乘二的矩阵谱问题出发，得到了一族广义的Harry Dym方程。该广义Harry Dym方程在一定的约束下，即可约化为新的具有尖孤子的可积模型。接下来，我们不仅给出了该可积模型尖孤子解的精确表示，还研究了广义Harry Dym方程包括孤立子在内的多种解的精确表达式。另外，通过研究孤子方程所对应的超椭圆曲线上引入的亚纯函数和Baker-Akhiezer函数的代数几何特征与它们在无穷远点处的渐近性质，我们还研究了经典的Kaup-Newell方程族，Wadati-Konno-Ichikawa方程族和耦合散射方程族的有限亏格解。由于寻找新的谱问题及与其相联系的孤子族，并给出其精确解是孤立子理论最基本且重要的研究内容之一。我们还构造了一批新的具有物理意义的非线性演化方程族，获得了这些方程族的Hamiltonian结构与无穷守恒率，并借助于不同方法给出其中一些可积方程解的精确表示，为探索可积系统更多具体的特征提供了准备。