多波共振系统中超正则矢量光呼吸子及调制不稳定性非线性阶段的研究

Modulation instability (MI) is the fundamental property and central process of many nonlinear optical systems. In recent years, owing to the connections between the MI and generation of rogue waves, MI has attracted considerable attention. We investigate the nonlinear stage of MI in multi-wave resonance systems from the angle of super-regular vector optical breathers. The main contents and innovations include: (1) via the analytic methods, such as dressing method and Darboux transformation, we study the existence and properties of super-regular vector optical breathers, which can be used to describe the nonlinear stage of MI and explain the mechanism of vector optical rogue waves; (2) introducing the higher-order terms in multi-wave resonance systems, we investigate the novel characteristics of nonlinear stage of MI arising from higher-order effects; (3) the notion of super-regular vector optical breathers is extended to the non-autonomous and discrete coupled optical systems. The existence and properties of non-autonomous or discrete super-regular vector breathers are investigated. It is expected that the non-autonomous and discrete super-regular vector breathers can be used to study nonlinear stage of MI in non-autonomous and discrete coupled systems.

调制不稳定性是许多非线性光学系统的基础性质和核心过程。 近年来，由于其与光怪波的产生有极大的联系，调制不稳定性理论受到了广泛关注。申请人主要从超正则矢量光呼吸子的角度研究多波共振系统调制不稳定性的非线性阶段。本课题主要的研究内容和创新点包括：（1）利用dressing方法、Darboux变换等技术，研究多波共振系统超正则矢量光呼吸子的存在和性质，并用其描述多波共振系统调制不稳定性的非线性阶段，以及解释矢量光怪波的产生机制；（2）在多波共振系统中引入高阶项，研究由高阶效应诱导的调制不稳定性非线性阶段的新特征；（3）将超正则矢量光呼吸子的概念从自治连续耦合系统扩展到光学中非自治和离散耦合系统，研究非自治超正则矢量呼吸子和离散超正则矢量呼吸子的激发和性质，并期望用其描述非自治和离散耦合系统调制不稳定性的非线性阶段。

非线性波现象（孤子、（超正则）呼吸子和怪波）在光纤通信系统中是非常丰富的。非线性波的产生通常被认为与调制不稳定性有关。例如，光学怪波可以看作由噪声产生的调制不稳定性引起的。从数学角度看，非线性波可以被可积非线性偏微分方程的精确解描述。可积的非线性偏微分方程有Lax对，这种可积性质在我们的研究中扮演重要的角色。. 本课题完成了各类耦合系统中关于（超正则）呼吸子、孤子、怪波以及调制不稳定性的线性和非线性阶段的研究。研究模型包括：三耦合Gross-Pitaevskii方程、耦合Hirota系统、矩阵Lakshmanan-Porsezian-Daniel 方程、含高阶效应的矢量非线性薛定谔方程等。基于以上研究模型，我们得到了如下结果：.(1)利用Darboux-dressing方法，我们得到多个耦合系统中的孤子解，呼吸子解和怪波解，并且分析得到了怪波的产生机制与调制不稳定性之间的关系。.(2)我们展示了高阶效应对调制不稳定性非线性阶段的影响。利用超正则呼吸子到孤子的态转换，展示了调制不稳定性非线性阶段中的孤子特征。.(3)利用带非相干和相干耦合项的非线性薛定谔方程的守恒律的性质，提出了一种一阶怪波达到超高振幅的机制，并且我们将研究思路推广到高阶的耦合非线性薛定谔方程。. 本课题的研究丰富了耦合系统中非线性波的动力学特征。 我们展示了耦合系统中调制不稳定性的线性阶段和非线性阶段的性质。 我们期望本课题的研究结果能为非线性波在光学系统中的实验研究提供一定的理论依据。