子群与群的结构以及有限p-群的一些问题的研究

This project mainly studies the relationship and regularity between the properties of subgroups and the structure of groups, and uses the obtained information and technology to determine the structure of groups and solve some unsolved problems in group theory. The project consists of six research topics: 1) the study of φ-τ-quasinormal subgroups and φ-τ-supplement subgroups; 2) the study of the influence of Σ-F-embedded (Σp-F-embedded) subgroups on the structure of finite groups; 3) the study of the finite groups with σ-conditionally permutable and Π-permutable properties; 4) the study of the finite groups with pronormal Hall π-subgroups; 5) the study of the powerful relation between n-generated finite p-group and general metacyclic p-group; 6) the study of the structure classification of finite powerful p-groups which proper subgroups are all regular. These problems are at the forefront of the research in this field, and they are all hot topics of group theory research at present.

本项目主要研究子群性质与群的结构之间的联系与规律性，并用所得到的信息和技术手段来确定群的结构和解决群论中一些未解决的问题。本项目共包含六个研究课题：1)关于φ-τ-拟正规子群和φ-τ-可补子群的研究；2)探讨Σ-F-嵌入(Σp-F-嵌入)子群对有限群结构的影响；3)研究具有σ-条件置换性和Π-置换性质的有限群；4)研究具有pronormal Hallπ-子群的有限群；5)讨论n元生成的有限p-群与一般亚循环p-群的幂导关系；6)给出真子群均正则的有限幂导p-群的结构分类。六个研究课题中包含十三个疑难问题(其中有五个公开问题)。所有研究课题均与国际潮流接轨，处于该领域的研究前沿。

本项目主要研究了子群与群的结构之间的联系和规律性，并用所得到的信息和技术手段来确定群的结构。其研究内容分以下五部分:1)研究了子群的广义拟正规性对有限群结构的影响，提出了τ-拟置换子群、Φ-τ-可补子群和几乎SΦ-嵌入性这些新的子群概念，应用这些新的研究方法刻画了有限群的结构，并且推广了已有的部分结论。另外又由子群的δ-置换性和s-正规性给出了超循环嵌入一些新的结论以及可解群的一些充要条件;2)研究了Σ-F-嵌入系统对有限群结构的影响，通过研究子群的Σ-F-嵌入性给出p-超可解群和p-可解群的新的成果。同时，又将Σ-嵌入性与σ-可解理论相结合，给出Σ-σ-嵌入系统这一子群性质，利用这一新的研究方法给出σ-超可解群和σ-可解群新的成果;3)关于σ-置换性和Π-置换性等相关问题的研究。通过讨论子群的τσ-置换性给出PσT-群的一些充要条件。同时又给出σ-嵌入这一子群性质，将之前主要针对Sylow子群的探讨推广到完备Hallσ-集中，给出超可解群以及超循环嵌入一些新的成果;4)研究了具有pronormalHall-子群的有限群中的一类特殊情况，即利用π-可解群构成的π-饱和Fischerπ-集，结合F-投射子的所具有的特性，给出G的投射子所满足的条件;5)研究了两个σ-超可解群积的问题，通过讨论子群的完全置换性给出了两个σ-超可解群的积仍为σ-超可解群的结论，这一成果将近年来所讨论的超可解群积的问题推广到σ-超可解群中，对σ-超可解群积的问题的研究提供了新思路。