Artin-Schelter正则代数的构造及相关性质研究

Artin-Schelter regular algebras are the important realization of the ideas which noncommutative algebraic geomerty furnishes for the study of noncommutative algebras. The classification, construction and properties of Artin-Schelter regular algebras are the valuable projects in noncommutative projective geometry. The proposal concerns mainly the construction and related properties of Artin-Schelter regular algebras. We study the following three topics: 1) Study Artin-Schelter regularity of the method called smash product of algebras. We expect this method to construct more general high dimensional Artin-Schelter regular algebras. 2) To gain new Artin-Schelter regular algebras with original properties by appropriate deformations of some certain classes of Artin-Schelter algebras with nice properties. 3) We discuss ring-theoretic and homological properties of such methods, especially the skew Calabi-Yau property and description of Nakayama automorphisms. The study of construction will benefit to the understanding of Artin-Schelter regular algebras, provide ample examples and develop the work of classification.

Artin-Schelter正则代数是几何思想运用于非交换代数研究的重要实现，它的分类、构造和性质研究已成为非交换射影几何领域的重要课题。本项目主要从Artin-Schelter正则代数的构造和性质两方面展开，研究内容包括：1)代数smash积在Artin-Schelter正则代数构造上的运用，以实现一般高维Artin-Schelter正则代数的发现；2）研究适当的代数形变构造方法，在保持原有属性的前提下，从具有良好性质的Artin-Schelter正则代数类出发构造新Artin-Schelter正则代数；3）在前两者基础上，考察这些构造方法的环理论和同调性质，尤其是斜Calabi-Yau性质的讨论，并给出相应Nakayama自同构的刻画。对构造方法的研究，有助于更深入地理解Artin-Schelter正则代数，并丰富实例，驱动分类工作的进一步发展。

本项目主要研究Artin-Schelter正则代数的构造和同调性质。首先，我们研究了代数smash积(扭张量积)这一构造方法。在一定条件下，通过构造得到一条特殊正合列，一方面，我们证明了一个关于代数smash积的Artin-Schelter正则性的结果，该结论提供了一种较为有效地构造高维Artin-Schelter正则代数的途径；另一方面，我们给出了代数smash积的Ext代数的结构定理，并在此基础上具体刻画了诺特Artin-Schelter正则代数的代数smash积的Nakayama自同构。以上成果包含了已有的Ore扩张和双Ore扩张的相关结果。而后，我们从5维正分次李代数包络代数出发，通过参数化构造得到了许多5维Artin-Schelter正则代数新实例。此外，借鉴代数smash积的方法，我们构造了Poisson代数张量上一种具有辫子的Poisson结构，并给出了相应Poisson泛包络代数的结构刻画。