复杂约束下几何信息驱动的迭代方法及其应用

In geometric design and related fields, lots of geometric problems require to be solved by iteration methods, due to their complicated constraints, high non-linearity, or considerable computation, such as constrained curve and surface fitting, generation of hexahedral volume mesh, and advanced data fitting for data set with non-regular shape. However, the iterative formats of conventional iteration methods are determined by the iteration methods themselves, with little relation to the original geometric problems. This deficiency makes the conventional iteration methods unable to get desirable results in many circumstances. In this proposal, we will develop the geometric information driven iteration method, called geometric iteration method. Its iterative format is designed directly based on the geometric problem to be solved, thus endowing iteration method with geometric meaning. In step by step geometric iterations, the iterative object is guaranteed to gradually satisfy the geometric conditions required by the original geometric problem. In this proposal, we will establish the theory framework of the geometric iteration method, including the design methods of the geometric iterative format, proving of its convergence, calculation of the convergence rate, and its acceleration methods; we will study the applications of the geometric iteration method, improve the application patterns, and extend the application fields. In conclusion, this proposal will develop new theory and new techniques for computer aided design and related fields.

几何设计与相关领域中的许多几何问题，如曲线曲面的约束拟合，六面体网格生成，和形状不规则数据集合的高级数据拟合等，由于约束条件复杂，或目标函数高度非线性，或计算量大，需要利用迭代法求解。然而，对于原几何问题来说，现有迭代方法就像黑匣子一样，它的迭代格式完全由迭代法本身确定，与原几何问题没有明显联系。在很多情况下，这一缺点限制了现有迭代方法取得理想的结果。本项目提出了几何信息驱动的迭代方法，称为几何迭代法。它直接根据要解决的几何问题中的几何条件来设计迭代格式，赋予了迭代方法以几何意义，在一步步的迭代中，保证使得迭代对象逐渐满足原问题中的几何条件。本项目将建立几何迭代方法的理论框架，包括几何迭代格式的设计方法，收敛性的证明，收敛速度的计算，以及几何迭代的加速方法；并开展几何迭代法的应用研究，完善应用模式，拓展应用范围。为计算机辅助设计等领域的学术研究和工程实践提供新理论和新工具。

在几何设计中，经常需要采用迭代法求解问题。但是，传统的迭代方法的几何意义不明显。在许多情况下，这一缺点限制了现有迭代方法取得理想的结果。本项目提出的几何信息驱动的迭代方法，称为几何迭代法。它直接根据要解决的几何问题中的几何条件来设计迭代格式，赋予了迭代方法以几何意义，在一步步的迭代中，保证使得迭代对象逐渐满足原问题中的几何条件。本项目的主要研究内容包括四部分：第一，设计并实现曲线曲面约束拟合的几何迭代格式，以及曲线曲面约束拟合的几何迭代算法的收敛性与收敛速度的证明与计算；第二，设计并实现基于几何迭代的六面体网格生成算法，并保证生成六面体网格的有效性；第三，设计并实现大规模数据拟合，以及拟合形状不规则（有洞）数据集合的几何迭代算法；第四，对几何迭代格式的设计方法进行理论总结，并对相关成果申请专利。. 本项目取得了一些重要结果，包括：在约束拟合方面，分别设计了满足约束的曲面交点精度的迭代改进算法，六面体网格顶点和四边形网格顶点满足可行域约束的几何迭代算法。在网格生成方面，设计了保质量的六面体网格和四边网格迭代生成算法，研究了细分网格正则性的约束条件。在数据拟合方面，设计了基于T样条的几何迭代法，可用于大规模数据拟合，以及拟合不规则的有洞数据，基于3变量B样条的几何迭代法，最小二乘渐近迭代逼近。在几何迭代法的理论研究方面，证明了最小二乘渐近迭代逼近在求解奇异方程组时的收敛性，设计了Jacobi-PIA几何迭代算法。作为总结，在CAD领域的顶级期刊《Computer-Aided Design》发表几何迭代法的综述文章，《Survey on geometric iteration methods and their applications》,对几何迭代法的理论和应用进行了总结。以上成果共发表学术论文27篇，其中SCI收录20篇，EI收录5篇，授权发明专利1项。这些成果初步建立了几何迭代法的理论框架，为计算机辅助设计等领域的学术研究和工程实践提供了新理论和新工具。