Minor 极小k-连通图的刻画

如果图G有子图经过一系列边的收缩后得到图H，则称H是G的minor。G是k-连通图且没有异于G的k-连通图H作为G的minor,则称G是minor极小的k-连通图。连通图中的minors问题与Hadwiger猜想有密切的关系，对不含有k点完全图的minor的k连通图进行有意义的刻划将对Hadwiger猜想的解答有深远的影响。.项目主要应用最近发展起来的断片理论，结合研究图的连通性的其它工具，将k-连通图中存在k-可收缩子图的研究转化为研究收缩临界且极小k-连通图的k-可收缩子图。寻求对k=5时，minor极小的k-连通图的完全刻画；对k=6，7时，得到minor极小的k-连通图的新性质并在此基础上对不含有k点完全图作为minor的k-连通图进行刻划。在研究过程中更进一步发展断片理论，将上述研究方法一般化，同时探索研究图的连通性的其它工具，

若G是k-连通图且没有异于G的k-连通图H作为G的minor, 则称G是minor极小的k-连通图。研究minor极小k-连通图的性质和结构，不仅是图的连通性研究本身的需要，还有助于推动著名的Hadwiger猜想的研究， 因此是在理论上具有非常重要的意义。 . 本项目“Minor 极小k-连通图的刻画”主要是对于较小的正整数k，研究收缩临界且极小的k-连通图的性质与结构，刻画收缩临界且极小的k-连通图的k-可收缩子图的特征；进而决定minor极小k-连通图。我们刻画了收缩临界5-连通图中不含在三角形内的点的局部邻域结构，证明了该局部结构中存在可收缩的子图；由此我们得到了minor极小5-连通图中每一个点都包含在三边形内。进一步我们证明了收缩临界且极小5-连通图中每一条端点度数不小于6的边的局部结构中存在可收缩子图； 从而证明了minor极小5-连通图中每一条边都会与至少一个5度点关联。以该结论作为基础，我们推广了德国学者Matthias Kriesell的结果， 证明了G. Fijavz于2001年提出的关于5-连通图的Minor的猜想对于super-5-连通图成立。但是对一般的k-连通图的结构的刻画是非常困难的，因此我们首先来研究特殊的k-连通图的结构。我们给出了Kronecker积图是super-k- 连通的充分条件。. 通过本项目，我们刻画了minor极小5-连通图的一般特征，为解决G. Fijavz于2001年提出的关于5-连通图的Minor的猜想奠定了基础，也为决定一般的minor极小k-连通图的研究提供了借鉴方法。