函数空间、几何和Mahler测度

This project will focus on the study of the properties of operator algebra induced by multiplication operators defined on function spaces, and that of their symbols. In particular, when the symbols are polynomials, their Mahler measures are of special interest, in view of number theory, geometry and algebra. The reducing subspace problem of multiplication operator has been the focus of operator-theorists and function theorists, for which we have done a lot of deep jobs, that inspire some deep connection between operator theory and function theory, and stimulates some new questions, such as the application of Chang-Marshall's theorem. It is known that Mahler measure has close connection with transcendental number theory, dynamical system, and also with algebraic curve. Also, there are quantity of problems that are valuable, which may indicates some connections with other aspects of mathematics.

本项目拟研究乘法算子构成的算子代数性质，及其符号的函数性质之间的联系；同时考虑当符号为多项式时，其定义的Mahler测度，从数论和几何、代数角度分析其性质。乘法算子的约化子空间问题一直是算子论专家和函数论专家关注的一个重要课题，我们已经在这方面作了很多工作；这些工作启发了算子理论和函数论之间深入的联系，以及一些新问题的考虑，如Chang-Marshall定理的应用。Mahler测度和和超越数论、动力系统有着密切的联系。从Mahler测度的一些特殊值可以看到它和代数曲线及几何之间的联系；也有大量有意义的问题值得考虑，寻求其和函数论、几何之间的联系。

我们考虑了函数空间上的算子理论，并由此展开了多方面的研究。.1. 1973年Berkson和Rubel开创性地研究了算子的totally Abelian性（完全交换性）。对一般Toeplitz算子，totally Abelian性的研究是一个重要的公开问题。项目申请人和合作者研究了解析Toeplitz算子的符号和算子totally Abelian性之间的联系，并给出了函数的一些相关几何不变量（最小绕数，曲线的自交重数等），在较一般的条件下发现这些量之间的相等关系，更肯定回答了Thomson于70年代提出的一个公开问题。该问题试图将Toeplitz算子的换位性质和函数的几何性质关联起来，然而40年来一直没有进展。 .2.在高维区域上，项目主持人和合作者对一维Toeplitz算子的约化子空间及相关研究作了非平凡的推广。 在高维发现Hartogs现象、可去集合(removable set)、一组解析乘法算子的联合约化子空间之间的联系。并讨论了大量例子。我们的结论对于很一般的区域都成立。这些工作揭示了算子论、复分析、几何、代数等之间的联系。.3.就多边形区域上Bergman空间的一些算子-函数论问题，项目主持人和合作者展开工作，发现算子的代数性质和算子符号之间的联系。.4. 项目主持人和郭坤宇教授将单位圆盘Bergman空间上解析符号的乘法算子的相关工作作了系统整理，并收录在专著《Multiplication Operators on the Bergman Space》中，由Springer出版社出版在著名的Lecture Notes in Mathematics (2145)系列。. .综合以上，课题主持人出版专著1本， 并在国内外知名杂志上（J. Funct. Anal., J. Operator Theory等）发表SCI论文5篇，项目组其他成员也有SCI论文若干。.项目组成员还参加了第七、八、九、十届全国算子理论与算子代数会议，并作了数人次的特邀报告；参加国际会议1次。 邀请专家学者来校作学术报告交流。