非线性离散薛定谔系统孤立子的研究

By making use of critical point theory and Nehari manifold method, this project is devoted to studying solitons of periodic discrete nonlinear Schrödinger systems and non-periodic discrete Schrödinger systems with unbounded potentials. The variational framework on suitable function spaces will be introduced for these discrete systems, the problems will be is transformed into problems of critical points of variational functionals, by applying the critical point theory with combining Nehari manifold method, some existence and multiplicity results will be studied for critical points of functionals, which will be used to study solitons of discrete nonlinear Schrödinger systems. These researches will provide theoretical guidance for related physical experiments, and provide a new theorem and approach to study some discrete nonlinear systems. To sum up, this project is meaningful in theory and useful in applying.

本项目拟利用临界点理论结合Nehari流形方法, 研究周期非线性离散薛定谔系统和具无界势的非周期离散薛定谔系统的孤立子。通过在适当的函数空间建立变分框架，将相应的问题转化为变分泛函对应的临界点问题，进而利用临界点理论结合Nehari流形方法研究变分泛函临界点的存在性与多重性定理, 将所得理论应用到非线性离散薛定谔系统孤立子的研究上, 为相关物理实验研究提供新的理论指导, 同时为非线性离散系统同宿解的研究提供新的理论与方法。因此有着重要的理论意义和应用价值。

离散薛定谔方程作为薛定谔方程的离散化方程,它广泛应用在量子力学、非线性光学、电磁学、Bose-Einstein 凝聚以及生物分子链等众多领域中。离散薛定谔方程的孤立子是一类非线性离散系统的同宿解。近几十年来，离散非线性薛定谔方程离散孤立子的存在性吸引了许多学者的注意力，研究方法包括：反连续性原理、变分方法、中心流形约化以及Nehari流形方法等．本项目主要利用临界点理论结合Nehari流形方法研究非线性离散薛定谔系统的孤立子。通过在适当的函数空间建立变分框架，将相应的问题转化为变分泛函对应的临界点问题，进而利用临界点理论结合Nehari流形方法研究变分泛函临界点的存在性与多重性定理, 将所得理论应用到非线性离散薛定谔系统孤立子的研究上, 为相关物理实验研究提供新的理论指导。本项目组在非线性离散薛定谔系统孤立子、二阶非线性差分方程基态解、含有P-拉普拉斯的非线性离散系统同宿解等方面取得了丰富的研究成果。取得的研究结果将为非线性离散系统同宿解的研究提供新的理论与方法。同时，也为非线性差分方程的相关应用领域，如量子力学、生物、非线性光学等领域的发展奠定一定的理论基础。因此这项研究既具有重要的理论意义又具有广阔的应用前景．项目执行期间项目组成员发表论文6篇，其中三篇被SCI收录。